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置換積分の公式
（使い方１）
f(x)dx → f(g(t))g’(t)dt( x=g(t) )
（使い方２）
f(g(x))g’(x)dx → f(t)dt( t=g(x) )
（使い方３）
dx=log|f(x)|+C

合成関数の微分法により
= …(1)

特に，次の形がよく登場する．
f(sinx)cosxdx
→ t=sinx→=cosx, dx=とおくと

f(sinx)cosxdx=f(t) cosx =f(t)dt

（cosxは約分によって消える）

f(cosx)sinxdx

→ t=cosx→=−sinx, dx=とおくと

f(cosx)sinxdx=f(t) sinx =−f(t)dt

（sinxは約分によって消える)

○実際に使うときは，（使い方１）（使い方２）の違いを考える必要はなく，f(x)とdxを変数tを用いて，それらに等しい式に変換すればよい（変数uもよく使われる）

○分子が分母の微分に等しいとき（使い方３）は，積分は一瞬で分かる･･･「ただ同然」．

(1)dx

(2)

(1)(2x+3)4dx

(2)sin3x cosxdx

(1)dx

(2)dx

（x2+4x+5=(x+2)2+1>0が常に成り立つから絶対値記号は不要）

(1) (x−1)(x+1)3dx 解説

x+1=tとおく
このときx−1=t−2 → (x−1)(x+1)3=(t−2)t3
=1 → dx=dt
(x−1)(x+1)3dx=(t−2)t3dt=(t4−2t3)dt
=−+C=t4(−)+C=t4+C
=(x+1)4+C=(2x−3)(x+1)4+C

(2) (2x+1)(x2+x+1)2dx 解説

x2+x+1=tとおく
このとき (2x+1)(x2+x+1)2=(2x+1)t2
=2x+1 → dx=
(2x+1)(x2+x+1)2dx=(2x+1) t2=t2dt
=+C==(x2+x+1)3+C

(3) dx 解説

dx=dx=log(x2+x+1)+C
（x2+x+1>0が常に成り立つから絶対値記号は不要）

(4) (x−1) dx 解説

=tとおく
このときx+1=t3, x=t3−1 → (x−1)=(t3−2)t
=3t2 → dx=3t2 dt
(x−1)dx=(t3−2)t×3t2 dt
=3(t6−2t3)dt=3(−)+C=3t4(−)+C
=3(−)+C=3(x+1)()+C
=(2x−5)(x+1)+C

(5) sin3xdx 解説

次のように変形すると被積分関数はf(cosx)sinxの形になる
→ （使い方２）
sin3x=sin2xsinx=(1−cos2x)sinx

cosx=tとおくと，(1−cos2x)sinx=(1−t2) sinx
=−sinx → dx=
sin3xdx=(1−t2)sinx=(t2−1)dt
=−t+C=−cosx+C

(6) cos3xdx 解説

t=3xとおくと，=3 → dx=
cos3xdx=cost =+C=+C

(7) dx 解説

dx=dx
←（使い方３）
=log|x−cosx|+C

(8) dx 解説

cosx=tとおくと，=−sinx → dx=
dx==−=− t−3 dt
=−+C=+C

(9) e2x+1dx 解説

2x+1=tとおくと，e2x+1=et, =2 → dx=
e2x+1dx=et =+C=+C

(10) dx 解説

dx=dx
←（使い方３）
=log|ex−e−x|+C

(11) dx 解説

ex=tとおくと，=, =ex=t → dx=
dx==
←例: 使い方１(2)
=tan−1t+C=tan−1(ex)+C

(12) (x>0) 解説

dx=dx=dx
←（使い方３）
=log|logx|+C

(13) dx (x>0) 解説

t=logxとおくと，=
= → dx=x dt
dx=x dt=t dt=+C=+C

(14) dx (x>0) 解説

t=logxとおくと，=
= → dx=x dt
dx=x dt=t2 dt=+C=+C