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置換積分の公式
≪解説と証明≫･･･これらの公式を丸暗記しても，実際の問題には使えない．以下の証明は参考程度に読むものとし，実際の問題を解くには下記の を参考にするとよい．（使い方１） ∫f(x)dx → ∫f(g(t))g’(t)dt( x=g(t) ) （使い方２） ∫f(g(x))g’(x)dx → ∫f(t)dt( t=g(x) ) （使い方３） ∫  f’(x)f(x)dx=log|f(x)|+C（使い方１）← 置換積分の公式は合成関数微分法の逆と見ることができる.
合成関数の微分法により
y=∫f(x)dx,x=g(t)のとき …(2)dydt=dydxdxdt …(1) dydx=f(x),dxdt=g’(t)これらを(1)に代入すると dydt=f(x)g’(t)=f(g(t))g’(t)したがって y=∫f(g(t))g’(t)dt …(3) (2)(3)→ ∫f(x)dx=∫f(g(t))g’(t)dt （使い方２）← （使い方１）において左辺と右辺を入れ替えて，変数xとtを入れ替えると（使い方２）が得られる．
特に，次の形がよく登場する．
（使い方３）←∫f(sinx)cosxdx → t=sinx→ dtdx=cosx, dx=dtcosxとおくと∫f(sinx)cosxdx=∫f(t) cosx dtcosx=∫f(t)dt（cosxは約分によって消える） ∫f(cosx)sinxdx → t=cosx→ dtdx=−sinx, dx=dt−sinxとおくと∫f(cosx)sinxdx=∫f(t) sinx dt−sinx=−∫f(t)dt（sinxは約分によって消える) （使い方２）においてf(x)=tとおく．→ dtdx=f’(x) → dx=dtf’(x)∫ f’(x)f(x)dx=∫f’(x)tdtf’(x)=∫1tdt=log|t|+C=log|f(x)|+C
○実際に使うときは，（使い方１）（使い方２）の違いを考える必要はなく，f(x)とdxを変数tを用いて，それらに等しい式に変換すればよい（変数uもよく使われる）
○分子が分母の微分に等しいとき（使い方３）は，積分は一瞬で分かる･･･「ただ同然」． |
例 （使い方１）
(1)∫
3x √x−1dx√x−1=tとおく，x−1=t2,x=t2+1 →  3x √x−1=3(t2+1)tdxdt=2t → dx=2tdt∫ 3x√x−1dx=∫3(t2+1)t2tdt=∫(6t2+6)dt=2t3+6t+C=2t(t2+3)+C=2 √x−1(x−1+3)+C=2(x+2) √x−1+C
(2)∫
x=tantとおく（⇔t=tan−1x）dxx2+1このとき 1x2+1=1tan2t+1dxdt=1cos2t → dx= dtcos2t∫ dxx2+1=∫1tan2t+1dtcos2tところで，三角関数の公式を用いると tan2t+1= 1cos2t(tan2t+1)(cos2t)=1 ∫ dxx2+1=∫dt=t+C=tan−1x+C（使い方２）
(1)∫(2x+3)4dx
t=2x+3とおくと，(2x+3)4=t4,dtdx=2→dx=dt2∫(2x+3)4dx=∫t4 dt2=12t55+C=(2x+3)510+C
(2)∫sin3x cosxdx
sinx=tとおくと，sin3x=t3,dtdx=cosx → dx=dtcosx∫sin3cosxdx=∫t3cosx dtcosx=∫t3dt=t44+C= sin4x4+C（使い方３）
(1)∫
(sinx)’=cosxだからcosxsinxdx∫ cosxsinxdx=∫(sinx)’sinxdx=log|sinx|+C
(2)∫
(x2+4x+5)’=2x+4だから2x+4x2+4x+5dx∫ 2x+4x2+4x+5dx=∫(x2+4x+5)’x2+4x+5dx=log(x2+4x+5)+C
（x2+4x+5=(x+2)2+1>0が常に成り立つから絶対値記号は不要）
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問題次の積分を求めよ． （正しいものを下から選べ． 暗算では無理なので，各自計算用紙を使えばよい） 13(x−2)(x+1)2+C
112(3x−5)(x+1)3+C110(2x−3)(x+1)4+C215(3x2+6x−7) √x+1+C
314(2x−5)(x+1)3√x+1+C(x2+x+1)33+C
log(x2+x+1)+C |
x+1=tとおく
(x+1)3には累乗が付いており，(x−1)には付いていない．→ 展開したくない方を変数tに選ぶとかっこを展開しなくて済む．
このときx−1=t−2 → (x−1)(x+1)3=(t−2)t3dtdx=1 → dx=dt∫(x−1)(x+1)3dx=∫(t−2)t3dt=∫(t4−2t3)dt = t55−t42+C=t4(t5−12)+C=t42t−510+C=(x+1)4 2(x+1)−510+C=110(2x−3)(x+1)4+C
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13(x−2)(x+1)2+C
112(3x−5)(x+1)3+C110(2x−3)(x+1)4+C215(3x2+6x−7)√x+1+C
314(2x−5)(x+1)3√x+1+C(x2+x+1)33+C
log(x2+x+1)+C |
x2+x+1=tとおく
(x2+x+1)2には累乗が付いており，(2x+1)には付いていない．→展開したくない方を変数tに選ぶと展開しなくて済む．
このとき (2x+1)(x2+x+1)2=(2x+1)t2dtdx=2x+1 → dx=dt2x+1∫(2x+1)(x2+x+1)2dx=∫(2x+1) t2 dt2x+1=∫t2dt= t33+C==13(x2+x+1)3+C
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13(x−2)(x+1)2+C
112(3x−5)(x+1)3+C110(2x−3)(x+1)4+C215(3x2+6x−7)√x+1+C
314(2x−5)(x+1)3√x+1+C(x2+x+1)33+C
log(x2+x+1)+C |
∫
2x+1x2+x+1dx=∫(x2+x+1)’x2+x+1dx=log(x2+x+1)+C（x2+x+1>0が常に成り立つから絶対値記号は不要） |
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13(x−2)(x+1)2+C
112(3x−5)(x+1)3+C110(2x−3)(x+1)4+C215(3x2+6x−7)√x+1+C
314(2x−5)(x+1)3√x+1+C(x2+x+1)33+C
log(x2+x+1)+C |
3
√x+1=tとおく
もし3
このときx+1=t3, x=t3−1 → (x−1)3 √x+1=tとおけば，被積分関数は多項式になり，x+1=tとおけば被積分関数は有理数の指数（分数の指数）を持つことになる．前者の方が簡単
√x+1=(t3−2)tdxdt=3t2 → dx=3t2 dt∫(x−1)3 √x+1dx=∫(t3−2)t×3t2 dt=3∫(t6−2t3)dt=3( t77−t42)+C=3t4(t37−12)+C=33 √(x+1)4(x+17−12)+C=3(x+1)3√x+1(2x−514)+C= 314(2x−5)(x+1)3√x+1+C |
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sin3x3+C
sin4x4+C
3sin2xcosx+Ccos3x3−cosx+C
1cos4x+C
12cos2x+C log|x−cosx|+C log|1+sinx|+C |
次のように変形すると被積分関数はf(cosx)sinxの形になる
→ （使い方２） sin3x=sin2xsinx=(1−cos2x)sinx cosx=tとおくと，(1−cos2x)sinx=(1−t2) sinx dtdx=−sinx → dx=dt−sinx∫sin3xdx=∫(1−t2)sinx dt−sinx=∫(t2−1)dt= t33−t+C=cos3x3−cosx+C |
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sin3x3+C
sin4x4+C
3sin2xcosx+Ccos3x3−cosx+C
1cos4x+C
12cos2x+C log|x−cosx|+C log|1+sinx|+C |
t=3xとおくと，
dxdt=3 → dx=dt3∫cos3xdx=∫cost dt3=sint3+C=sin3x3+C |
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sin3x3+C
sin4x4+C
3sin2xcosx+Ccos3x3−cosx+C
1cos4x+C
12cos2x+C log|x−cosx|+C log|1+sinx|+C |
∫
1+sinxx−cosxdx=∫(x−cosx)’x−cosxdx←（使い方３） =log|x−cosx|+C |
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sin3x3+C
sin4x4+C
3sin2xcosx+Ccos3x3−cosx+C
1cos4x+C
12cos2x+C log|x−cosx|+C log|1+sinx|+C |
cosx=tとおくと，
dtdx=−sinx → dx=dt−sinx∫ sinxcos3xdx=∫sinxt3dt−sinx=−∫dtt3=−∫ t−3 dt=− t−2−2+C=12cos2x+C
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e2x+1+C 2e2x+1+C e2x+12+Clog(ex+e−x)+C log|ex−e−x|+C log(e2x+1)+C tan−1(ex)+C |
2x+1=tとおくと，e2x+1=et,
dtdx=2 → dx=dt2∫e2x+1dx=∫et dt2=et2+C=e2x+12+C
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e2x+1+C 2e2x+1+C e2x+12+Clog(ex+e−x)+C log|ex−e−x|+C log(e2x+1)+C tan−1(ex)+C |
∫
ex+e−xex−e−xdx=∫(ex−e−x)’ex−e−xdx←（使い方３） =log|ex−e−x|+C |
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e2x+1+C 2e2x+1+C e2x+12+Clog(ex+e−x)+C log|ex−e−x|+C log(e2x+1)+C tan−1(ex)+C |
ex=tとおくと，
exe2x+1=tt2+1, dtdx=ex=t → dx=dtt∫ exe2x+1dx=∫tt2+1dtt=∫dtt2+1←例: 使い方１(2) =tan−1t+C=tan−1(ex)+C |
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xlogx+C log|logx|+C log|xlogx|+C logxx+C
xlogx+C(logx)22+C
(logx)33+C |
∫
dxxlogxdx=∫1xlogxdx=∫(logx)’logxdx←（使い方３） =log|logx|+C |
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xlogx+C log|logx|+C log|xlogx|+C logxx+C
xlogx+C(logx)22+C
(logx)33+C |
t=logxとおくと，
logxx=txdtdx=1x → dx=x dt∫ logxxdx=∫txx dt=∫t dt=t22+C=(logx)22+C
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xlogx+C log|logx|+C log|xlogx|+C logxx+C
xlogx+C(logx)22+C
(logx)33+C |
t=logxとおくと，
(logx)2x=t2xdtdx=1x → dx=x dt∫ (logx)2xdx=∫t2xx dt=∫t2 dt=t33+C=(logx)33+C
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