■不定積分の部分積分法

◇解説◇
　元の形では積分計算が困難に見える問題でも，形を変えると積分計算の分かる問題に書き直せることがあります。

　積の微分法：　
(fg)’ = f’g + fg’
　の両辺を積分すると，
fg = ∫wnf’g dx + ∫wnfg’dx

移項すると，部分積分法の公式が得られます。
∫wnfg’dx= fg−∫wnf’g dx
例１

∫wn x sin x dx
　　( )は左辺の初めの形

　　 下げる：(f) = x　　　→ f' = 1
　　　　　g =−cos x ← (g') = sin x：上げる


∫wnx sin x dx =−x cos x + ∫wncos x dx
=−x cos x + sin x + C

※　x と 三角関数，指数関数などの積　→　x を f側 (次に微分する側)に選ぶと消える
例２

∫wnx logx dx



　　( )は左辺の初めの形

下げる：(f) = log x → f' = .1xn

g = .x22nn ← (g') = x：上げる



∫wnx logx dx = .x22nn log x− ∫wn .1xn.x22nn dx

= .x22n log x−∫wn .x2n dx

= .x22nn log x−.x24nn + C

 ※　log x → 微分する側(現在 f の側)に選ぶとうまくいくことが多い。
(例外：log x は相手が多項式であっても，微分する側とする。) 		例3

I = ∫wnex sin x dx とおく



　　( )は左辺の初めの形

　　下げる：(f) = sin x　→ f' = cos x
　　　　　　g = ex ← (g') = ex：上げる


I = ∫wnex sin x dx

= ex sin x−∫wnex cos x dx



　　( )は左辺の初めの形

　　下げる：(p) = cos x　→ p' =−sin x
　　　　　　q = ex ← (q') = ex：上げる


I = ex sin x−∫wnex cos x dx

= ex sin x−(ex cos x + ∫wnex sin x dx)

I = ex sin x−ex cos x−I　となるから，

I = .ex(sinx−cosx)2nnnnnnnnnnn + C

※　同じものが出てくるまで変形する　→ I とおいて解く。

■　問題　次の空欄を埋めなさい。(なお，空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします．)
問題 答案
(1)

∫wnxe−3xdx
◇考え方◇ x を微分する側(初めの f の側)に選ぶ → x が消える。



　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(f) = x　→ f' = 　

　　　　　　　　g = .e−3x(__)nnnnnn　 ← (g') = e-3x：上げる




(原式) = x .e−3x(−3)nnnn − ∫wn 1･ .e−3x()nnnn dx

=−.xe−3x3nnnnn + .13n ∫wn e-3x dx =−.xe−3x3nnnnn + .13n .e−3x(−3)nnnn + C


=−.xe−3x3nnnnn − .e−3x9nnn + C =− .(x+1)e−3x9nnnnnnnnnn + C

(2)

∫wnx2 cos x dx
◇考え方◇ x2 を微分する側(初めの f の側)に選ぶ → ２回の部分積分で消える。



　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(f) = x2　→ f' = x　
　　　　　　　　g = ← (g') = cos x：上げる



(原式) = x2sin x − ∫wn 2x sinx dx = x2sin x −2 ∫wn x sinx dx



　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(p) = x　→ p' =
　　　　　　　　q =−cos x ← (g') = sin x：上げる



(原式) = x2sin x −2( x (- cosx ) + ∫wn cos x dx )
= x2sin x−2(−x cosx + sin x) + C
= x2sin x + 2x cosx −2sin x + C
(3)

∫wnlog x dx
◇考え方◇ 1･log x と考える



　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(f) = log x　→ f’= .1nn　

　　　　　　　　g = 　 ← (g') = 1： 上げる



(原式) = x log x− ∫wn .1xn x dx = x log x− ∫wn dx

= x log x− + C

(4)

∫wn .(logx)2xnnnnnn dx



 ･･[別解]･･
◇考え方◇ log x を微分する側に選ぶ



　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(f) = (log x)2　→ f' = 2 (log x) .1xn　

　　　　　　　　g = 　 ← (g') = .1xn： 上げる



(原式) = I とおく
I = (log x)3− ∫wn 2 log x .1xn log x dx


= (log x)3−2 ∫wn .(logx)xnnnnnnnn dx

I = (log x)3−2I だから

I = .(logx)3nnnnnn + C
(5)

∫wn (log x)2dx
◇考え方◇ 1･(log x)2 と考える



　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(f) = (log x)2　→ f' = 2 (log x).1xn　

　　　　　　　　g = x　 ← (g') = 1： 上げる

(原式) = ∫wn (log x)2 dx

= (log x)2−∫wn (log x) .1xn x dx= x (log x)2−∫wnlog x dx



　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(p) = log x　→ p' = .1xn　

　　　　　　　　q = x　 ← (q') = 1： 上げる


∫wnlog x dx = x log x−x + C だから
(原式)= x (log x)2−2(x log x−x) + C
= x (log x)2−2x log x + 2x + C

(6)

∫wn eax cos bx dx

　(ただし，a，b ≠ 0 とする。)
◇考え方◇ = I とおいて，同じものが登場するまで部分積分を繰り返す。


　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(f) = eax　→ f' = a eax　

　　　　　　　　g = .sinbxbnnnnn　 ← (g') = cos bx： 上げる



(原式) = ∫wn eax cos bx dx

= .eaxsinbxbnnnnnn − .nn ∫wn eax sin bx dx



　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(p) = eax　→ p' = a eax　

　　　　　　　　q =−.cosbxbnnnnn　 ← (q') = sin bx： 上げる



(原式) = .eaxsinbxbnnnnnnn − .abn (− .eaxcosbxbnnnnnnn + .nn ∫wn eax cos bx dx )

I = .eaxsinbxbnnnnnn + .aeaxcosbxb2nnnnnnnn − .a2b2nn I

.a2+b2b2nnnnn I = .beaxsinbx+aeaxcosbxb2nnnnnnnnnnnnnnnnn

I = .eax(bsinbx+acos_bx)a2+b2nnnnnnnnnnnnnnnnnn+C
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の部分積分法について／16.11.13］
(４)の別解の最終形が間違っていると思います。 (logx)^3/xではなく、(logx)^3/3ではないですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

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