■三角関数の不定積分
≪要点≫
(I)三角関数の積は和に直してから積分する
２乗は半角公式で逃げる
(II)f(sinx)cosx , f(cosx)sinx→置換積分
sin3x=(1−cos2x)sinxはその応用
f’/fは即答可能の特急券→log|f|
(III)（多項式、指数関数）×三角関数→部分積分

≪解説≫
(I)三角関数の積は和に直してから積分する
例1
∫wnsin2x cos3x dx
右の積→和の公式(3)においてα=2x, β=3xとおくと
sin2x cos3x= .12n { sin(2x+3x)+sin(2x−3x) }
= .12n { sin5x−sinx }
∫wnsin2x cos3x dx= .12n ∫wn(sin5x−sinx)dx
= .12n (− .15n cos5x+cosx)+C
= − .110nn cos5x+ .12n cosx+C

例2
∫wncos4x cos3x dx
右の積→和の公式(5)においてα=4x, β=3xとおくと
cos4x cos3x= .12n { cos(4x+3x)+cos(4x−3x) }
= .12n { cos7x+cosx }
∫wncos4x cos3x dx= .12n ∫wn(cos7x+cosx)dx
= .12n ( .17n sin7x+sinx)+C
= .114nn sin7x+ .12n sinx+C



○２乗は半角公式で逃げる
∫wnsin2x dxのように被積分関数が三角関数の２乗になって
いるときは、上記の積→和の公式においてα=βとおけば解決できるが、右の(9)’(10)’のように２倍角公式を逆に読んだもの（半角公式）で考える人が多い。
例3
∫wnsin2x dx
∫wnsin2x dx=∫wn.1−cos2x2nnnnnnn dx
= .12n x− .sin2x4nnnn +C
※　三角関数の積分は１つの公式を覚えただけでは解決できず、総合的な力が試される。すなわち、三角関数の積分を行うには、積を和に直す公式、部分分数分解、置換積分、部分積分など幅広い力を要する。

［将来との関連］　三角関数の積分（主に定積分）は高校卒業後に習うフーリエ級数において重要な働きをなしており、このフーリエ級数は様々な分野に使われている。例えば画像圧縮技術にも応用されている。
積→和の公式
加法定理
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ …(1)
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ …(2)
(1)+(2)
sin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ
これにより、次の積→和の公式が得られる
sinαcosβ= .12n { sin(α+β)+sin(α−β) } …(3)

積→和の公式
加法定理
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ …(4)
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ …(5)
(4)+(5)
cos(α+β)+cos(α−β)=2cosαcosβ
これにより、次の積→和の公式が得られる
cosαcosβ= .12n { cos(α+β)+cos(α−β) } …(6)

積→和の公式には、以上2つの他(4)-(5)によって得られる次の公式がある。
sinαsinβ= − .12n { cos(α+β)−cos(α−β) } …(7)
なお、(1)-(2)で作られるものは(3)のαとβを入れ替えると得られるから必要なものではないが、順序が入れ替わったときに思い違いしないように公式の仲間に入れておいてもよい。
cosαsinβ= .12n { sin(α+β)−sin(α−β) } …(8)

半角公式
加法定理
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ …(4)
において、α=βとおくと余弦（cosθ）に関する２倍角公式が得られる。
cos2α=cosαcosα−sinαsinα
=cos2α−sin2α
=1−2sin2α …(9)
=2cos2α−1 …(10)
(9)より
sin2α= .1−cos2α2nnnnnnn …(9)’
(10)より
cos2α= .1+cos2α2nnnnnnn …(10)’
(9)’(10)’より
tan2α= .1−cos2α1+cos2αnnnnnnn …(11)’
≪問題１≫　次の不定積分を求めよ。
（正しいものを選べ。暗算ではできないので計算用紙が必要。）
(1)
∫wncos2x sinx dx
.cos3x6nnnnn + .cosx2nnnn +C .cos3x6nnnnn − .cosx2nnnn +C
− .cos3x6nnnnn + .cosx2nnnn +C − .cos3x6nnnnn − .cosx2nnnn +C
(2)
∫wnsinx sin3x dx
.sin4x8nnnn − .sin2x4nnnn +C − .sin4x8nnnn + .sin2x4nnnn +C
.cos4x8nnnn − .cos2x4nnnn +C − .cos4x8nnnn + .cos2x4nnnn +C
(3)
∫wncos23x dx
.x2n + .sin6x12nnnn +C .x2n − .sin6x12nnnn +C
.x2n + .cos6x12nnnn +C .x2n − .cos6x12nnnn +C
(II)f(sinx)cosx , f(cosx)sinx→置換積分
例4
∫wnsin2x cosx dx

置換積分を行う

sinx=tとおくと.dtdxnn =cosx→dx= .dtcosxnnnn
∫wnsin2x cosx dx=∫wnt2 cosx .dtcosxnnnn = .t33n +C
= .sin3x3nnnn +C

例6
∫wn.dxsinxnnn


.1sinxnnn = .sinxsin2xnnnn = .sinx1−cos2xnnnnnn
置換積分を行う
cosx=tとおくと.dtdxnn = −sinx→dx= − .dtsinxnnnn
∫wn.dxsinxnnn =∫wn.sinxsin2xnnnn dx=∫wn.sinx1−cos2xnnnnnn dx
=∫wn.sinx1−t2nnn .dt(−sinx)nnnnnn = ∫wn.1t2−1nnn dt= .12n ∫wn( .1t−1nnn − .1t+1nnn )dt
= .12n (log|t−1|−log|t+1|)+C=.12n log|.t−1t+1nnn| +C
= .12n log|.1−cosx1+cosxnnnnnn| +C= .12n log( .1−cosx1+cosxnnnnnn ) +C
※1−cosx≧0 , 1+cosx≧0で、等号のとき | | があってもなくても定義されない事情は同じ 		○　sin3x=(1−cos2x)sinxはその応用
例5
∫wnsin3x dx

sin3x=sin2x sinx=(1−cos2x)sinx
置換積分を行う
cosx=tとおくと.dtdxnn = −sinx→dx= − .dtsinxnnnn
∫wnsin3x dx=∫wn(1−cos2x)sinx dx
=∫wn(1−t2)sinx .dt−sinxnnnnn = ∫wn(t2−1)dt
= .t33n −t+C= .cos3x3nnnn −cosx+C

例7
(1)∫wn.cosx1+sinxnnnnnn dx (2)∫wntanx dx

○　∫wn.f’(x)f(x)nnnn dx=log|f(x)|+Cは即答可能の特急券
f(x)=tとおくと.dtdxnn =f’(x)→dx= .dtf’(x)nnn
∫wn.f’(x)f(x)nnndx = ∫wn.f’(x)tnnn.dtf’(x)nnn =log|t|+C
=log|f(x)|+C
そこで
「分子が分母の微分」→（即答可能の特急券）
→log|分母|が答

(1) ∫wn.cosx1+sinxnnnnnn dx= ∫wn.(1+sinx)’1+sinxnnnnnnn dx=log|1+sinx|+C
この| |は( )に換えてもよい
(2) ∫wntanx dx= − ∫wn.(cosx)’cosxnnnnnn dx= −log|cosx|+C
≪問題２≫　次の不定積分を求めよ。
（正しいものを選べ。暗算ではできないので計算用紙が必要。）
(1)
∫wncos3x sinx dx
.sin4x4nnnn +C − .sin4x4nnnn +C
.cos4x4nnnn +C − .cos4x4nnnn +C
(2)
∫wncos3x dx
sinx+ .sin3x3nnnn +C sinx − .sin3x3nnnn +C
cosx+ .cos3x3nnnn +C cosx − .cos3x3nnnn +C
(3)
∫wn.dxcosxnnnn
.12n log( .1−sinx1+sinxnnnnnnn )+C − .12n log( .1−sinx1+sinxnnnnnnn )+C
.12n log( .1−cosx1+cosxnnnnnnn )+C − .12n log( .1−cosx1+cosxnnnnnnn )+C
(4)
∫wn.cosx−sinxsinx+cosxnnnnnnnn dx .
log|sinx+cosx|+C log|sinx−cosx|+C
| .1sinx+cosxnnnnnnnn |+C | .1sinx−cosxnnnnnnnn |+C
(III)（多項式、指数関数）×三角関数→部分積分
例8
∫wnxsinx dx

∫wnxsinx dx=−xcosx−∫wn1·(−cosx)dx
=−xcosx+∫wncosx dx
=−xcosx+sinx+C 		部分積分
∫wnf’(x)g(x) dx=f(x)g(x)−∫wnf(x)g’(x)dx
多（単）項式は微分する側（次数を下げる側）に選ぶ
f’=sinx →f=−cosx
g’=1← g=x
例9
∫wnexsinx dx

∫wnexsinx dx=Iとおく
I=exsinx−∫wnexcosx dx
=exsinx−(excosx−∫wnexsinx dx)=exsinx−excosx−I
2I=ex(sinx−cosx)
I= .12n ex (sinx−cosx)+C
（積分定数は最後に１つ付ければよい）
 未知関数Iの”方程式”を作って解く
”同じ向き”に２回部分積分を行う
I=···−Iになれば解ける。→2I=···
I=···+Iになれば解けない。→消えてしまう
 １回目の部分積分
f’=ex →f=ex
g’=cosx← g=sinx

２回目の部分積分
s’=ex →s=ex
t’=−sinx← t=cosx
≪問題３≫　次の不定積分を求めよ。
（正しいものを選べ。暗算ではできないので計算用紙が必要。）
(1)
∫wnx cosx dx
x cosx+sinx+C x cosx−sinx+C
x sinx+cosx+C x sinx−cosx+C
(2)
∫wne−2x cosx dx
e−2x(sinx+cosx)+C .15n e−2x(sinx−2cosx)+C
.45n e−2x(sinx+cosx)+C .18n e−2x(sinx−2cosx)+C

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／18.8.28］
∮xsinx/(cosx)^3はどうやって解くのでしょうか。 また、置換でも解けるのでしょうか。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問を正確に書いてください．∮は複素積分で留数定理やストークスの定理のときに出てくる周回積分の記号です．また積分変数は？
文句を言っても始まらないので，適当に解釈して勝手に答えてしまいます．はじめに，このページを見てください．
そこで次の公式をメモします．



次に




部分積分の公式に当てはめる



##高校生にはこんな問題はできません！
■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／17.11.29］
単なるミスプリでしょうが、例８の解答のｘが+に見えます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．+は１つですので訂正しました
■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／17.6.15］
例5は(cos3x/12)-(3sinx/4)+Cでもあってますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．三倍角公式を逆に解いて，被積分関数を三角関数の１次式に直すのは「あり」です．ただ，結果は少し違うようです．
だから
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質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります