■　不定積分の置換積分

◇はじめに◇　元の問題のままでは積分計算が困難に見える場合でも，変数を置き換えて関数形を変えると，簡単に積分計算ができることがあります。 変数の置き換えで積分を求める方法が置換積分です。
　■　次の空欄を埋めなさい。ただし，スペースキーを使わず，sin x などは詰めて sinx と書きなさい。また，数字は半角文字で，英字は半角小文字で書きなさい。
　※　なお，このページに使用しているフォントで t は，pqrst の t ， x は xyz の xです。
(例題1)

∫wn(2x+1)3dx 		(答案)
2x+1 = t とおくと，.dtdxnn = 2 → dx = .dt2nn

(原式) = ∫wnt3.dt2nn = .12n.t44nn+C = .(2x+1)48nnnnnn+C 　･･･　答
(問題1-1)

∫wn(3x−2)4dx 		(答案)
= t とおくと，.dtdxnn = 3 → dx = .dtnn


(原式) = ∫wnt4.dt3nn = .13n.tnn+ C = .(3x−2)5nnnnnn+C 　･･･　答

(問題1-2)

∫wn.dx(2x+3)2nnnnnnn 		(答案)
= t とおくと，.dtdxnn = 2 → dx = .dtnn


(原式) = ∫wnt-2 .dt2nn = .12n.t(−1)nnnn+ C =−.12(2x+3)nnnnnnn+C 　･･･　答
◎一般に a ≠ 0 のとき，次の公式が成り立ちます。
∫wn(ax+b)ndx=.1an.(ax+b)n+1n+1nnnnnnnn+C ，∫wn.m√(ax+b)n√nnnnnnnidx = ∫wn(ax+b).nmndx = .1an .(ax+b).nmn+1.nmn+1nnnnnnnn + C

∫wnsin(ax)dx =−.1ancos(ax)+C ， ∫wnsin(ax+b)dx =−.1ancos(ax+b)+C ，

∫wncos(ax)dx = .1ansin(ax)+C ，∫wncos(ax+b)dx = .1ansin(ax+b)+C

∫wneaxdx = .1aneax+C，∫wneax+bdx = .1aneax+b+ C

　ていねいに計算するには，置換積分によりますが，逆に右辺を微分して左辺にするときに a が掛けられるので，積分のときは a で割ると考えれば簡単です。
(問題1-3)
∫wnsin(2x+1)dx =−.cos(2x+1)nnnnnnnnn+C



∫wne3xdx = .e3xnnn+C

∫wn(1−4x)7dx = .(1−4x)8nnnnnnn+C

∫wn cos(3x+ .π4n )dx = .sin(3x+.π4n)nnnnnnnnn + C

.
(例題2)

∫wnx.√x+1√nnnidx 		(答案)
.√x+1√nnni = t とおくと，x+1 = t2　 → 　x = t2−1　 →　 .dxdtnn= 2t 　→ 　dx = 2t dt

(原式) = ∫wn(t2−1)･t･2t dt = 2∫wn(t4−t2)dt = 2( .t55nn−.t33nn)+C
= 2( ..√(x+1)5√nnnnnni5nnnnnnn − ..√(x+1)3√nnnnni3nnnnnnn )+C = 2( .(x+1)2.√x+1√nnni5nnnnnnnnnn − .(x+1).√x+1√nnni3nnnnnnnnn )+C

※　無理関数を含む場合 .m√ax+b√nnnni = t とおくと，うまく置換積分できます。
簡単な式は，ax+b = t　でもできます。
(問題2-1)

∫wn .x.√x+1√nnninnnnn dx 		(答案)
.√x+1√nnni = t とおくと，x+1 = t2　 → 　x = t2−1　 →　 .dxdtnn= 　→ 　dx = dt

(原式) = ∫wn .t2−1tnnnn ･2t dt = 2 ∫wn (t2−1)dt = 2( .t33nn -t)+C

= 2( .(x+1).√x+1√nnni3nnnnnnnnn − .√x+1√nnni )+C 　･･･(この後 2.√x+1√nnni でくくることができます。)
(問題2-2)

∫wn x .3√x−1√nnnni dx 		(答案)
.3√x−1√nnni = t とおくと，x−1 = t3 　 → 　x = t3+1　 →　 .dxdtnn= t2 　→ 　dx = t2 dt

(原式) = ∫wn (t3+1)･t･3t2 dt = 3 ∫wn (t6+t3) dt = 3 ( .t77nn + .t44nn )+C

= 3(.(x−1)2_.3√x−1√nnninnnnnnnnnnn + .(x−1).3√x−1√nnninnnnnnnnn )+C

　･･･(この後 (x−1).3√x−1√nnnni でくくることができます。)
.
(例題3)

∫wn2xex2+1dx 		(答案)
x2+1 = t とおくと，.dtdxnn= 2x 　→ 　dx = .dt2xnn

(原式) = ∫wn2x et .dt2xnn = ∫wnet dt = et+C = ex2+1+C

※　∫wnf(x)dx の f(x) を被積分関数といいます。この問題のように，被積分関数の全部が t に変換できなくても，約分によって x が消えることがあります。これは，∫wnf(x)dx の f(x)dx が ...dt になると考えても同じです。
(問題3-1)

∫wn sin3x cosx dx 		(答案)
sinx = tとおくと .dtdxnn= cosx 　→ 　dx = .dtnnnn

(原式) = ∫wn t3 cosx .dtcosxnnnn = ∫wn t3 dt = .t44nn+C = .sin4xnnnn+C

※【要点】　sinnx cosx →sinx = tとおく， cosnx sinx → cosx = t とおく。
(問題3-2)

∫wn .logxxnnnn dx 		(答案)
logx = t とおくと，.dtdxnn = .1nn 　→ 　dx = dt

(原式) = ∫wn .txn x dt = ∫wn t dt = .t22nn+C = .(logx)2nnnnnnn+C

.
(例題4)

∫wn .2x+1x2+x+1nnnnnn dx 		(答案)
x2+x+1 = t とおくと，.dtdxnn= 2x+1 　→ 　dx = .dt2x+1nnnn

(原式) = ∫wn .2x+1tnnnn .dt2x+1nnnn = ∫wn.dttnn = log| t |+C = log|x2+x+1|+C

(この式でx2+x+1 は常に正なので，最後の式は log(x2+x+1)+C とできます。

※　一般に，分子が分母の微分となっているときは，∫wn.dttnn となるので，直ちに

log| 分母 |+C とすることができます。(丸もうけです。)
(問題4-1)

∫wn.cosxsinxnnnndx 		(答案)
被積分関数で(分母)’=(分子)となっているから
(原式) = log| |+C
(問題4-2)

∫wn .exex+2nnnn dx 		(答案)
被積分関数で(分母)’=(分子)となっているから
(原式) = log(ex+)+C
※　なお，原式の分母は，つねに正だから | | 記号は不要。
(問題4-3)

∫wn .1xlogxnnnnn dx 		(答案)
∫wn .1xlogxnnnnn dx = ∫wn ..1xnlogxnnnn dx と変形すると， 被積分関数で(分母)’=(分子)となっているから

(原式) = log||+C

【補足】
　やの積分を求めたいとき，とおくとできることが多い．
　例えば，を計算したいとき，このまま積分するにはのように２乗の部分を展開しなければならないが，とおくと

となって，2乗の展開が不要になる．
【補足1】　次の不定積分を求めよ．
（解答）
とおくと
【補足2】　次の不定積分を求めよ．
（解答）
とおくと
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の置換積分について／18.9.4］
全然分からなかったので、ヒントをお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．十分たくさんのヒントが書いてあります．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の置換積分について／18.6.23］
少し読みづらい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．漠然と書くのでなく，もっと具体的に指摘してもらう方が，他の人のためにもなるでしょう．たとえば，スマホの機種ごとに利用可能なフォントが違うので，積分記号の表示，被積分関数との間隔がＰＣ版と異なる形で表示されることがあります．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の置換積分について／17.10.5］
まとまっていて、簡単な練習問題で演習しながら理解できたのでとても役に立った。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の置換積分について／16.10.21］
もう少しレベルの高い実践的な問題を1問置くといいと思った
＝＞［作者］：連絡ありがとう．言われる意味は分かりました．なお,頁の初めにあるサブメニューで同(2)を行ってもらうことができます．

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