不定積分の置換積分

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■　不定積分の置換積分

◇はじめに◇　元の問題のままでは積分計算が困難に見える場合でも，変数を置き換えて関数形を変えると，簡単に積分計算ができることがあります。変数の置き換えで積分を求める方法が置換積分です。
　■　次の空欄を埋めなさい。ただし，スペースキーを使わず，sin x などは詰めて sinx と書きなさい。また，数字は半角文字で，英字は半角小文字で書きなさい。
　※　なお，このページに使用しているフォントで t は，pqrst の t ， x は xyz の xです。

(例題1) (2x+1)3dx	(答案) 2x+1 = t とおくと， = 2 → dx = (原式) = t3 = +C = +C 　･･･　答
(問題1-1) (3x−2)4dx	(答案) = t とおくと， = 3 → dx = (原式) = t4 = + C = +C 　･･･　答
(問題1-2)	(答案) = t とおくと， = 2 → dx = (原式) = t-2 = + C =−+C 　･･･　答

◎一般に a ≠ 0 のとき，次の公式が成り立ちます。

(ax+b)ndx=+C ，dx = (ax+b)dx = + C

sin(ax)dx =−cos(ax)+C ， sin(ax+b)dx =−cos(ax+b)+C ，

cos(ax)dx = sin(ax)+C ，cos(ax+b)dx = sin(ax+b)+C

eaxdx = eax+C，eax+bdx = eax+b+ C

　ていねいに計算するには，置換積分によりますが，逆に右辺を微分して左辺にするときに a が掛けられるので，積分のときは a で割ると考えれば簡単です。

(問題1-3) sin(2x+1)dx =−+C	e3xdx = +C
(1−4x)7dx = +C	cos(3x+ )dx = + C

(例題2) xdx	(答案) = t とおくと，x+1 = t2　 → 　x = t2−1　 →　 = 2t 　→ 　dx = 2t dt (原式) = (t2−1)･t･2t dt = 2(t4−t2)dt = 2( −)+C = 2( − )+C = 2( − )+C ※　無理関数を含む場合 = t とおくと，うまく置換積分できます。簡単な式は，ax+b = t　でもできます。
(問題2-1) dx	(答案) = t とおくと，x+1 = t2　 → 　x = t2−1　 →　 = 　→ 　dx = dt (原式) = ･2t dt = 2 (t2−1)dt = 2( -t)+C = 2( − )+C 　･･･(この後 2 でくくることができます。)
(問題2-2) x dx	(答案) = t とおくと，x−1 = t3 　 → 　x = t3+1　 →　 = t2 　→ 　dx = t2 dt (原式) = (t3+1)･t･3t2 dt = 3 (t6+t3) dt = 3 ( + )+C = 3( + )+C 　･･･(この後 (x−1) でくくることができます。)

(例題3) 2xex2+1dx	(答案) x2+1 = t とおくと，= 2x 　→ 　dx = (原式) = 2x et = et dt = et+C = ex2+1+C ※　f(x)dx の f(x) を被積分関数といいます。この問題のように，被積分関数の全部が t に変換できなくても，約分によって x が消えることがあります。これは，f(x)dx の f(x)dx が ...dt になると考えても同じです。
(問題3-1) sin3x cosx dx	(答案) sinx = tとおくと = cosx 　→ 　dx = (原式) = t3 cosx = t3 dt = +C = +C ※【要点】　sinnx cosx →sinx = tとおく， cosnx sinx → cosx = t とおく。
(問題3-2) dx	(答案) logx = t とおくと， = 　→ 　dx = dt (原式) = x dt = t dt = +C = +C

(例題4) dx	(答案) x2+x+1 = t とおくと，= 2x+1 　→ 　dx = (原式) = = = log\| t \|+C = log\|x2+x+1\|+C (この式でx2+x+1 は常に正なので，最後の式は log(x2+x+1)+C とできます。 ※　一般に，分子が分母の微分となっているときは，となるので，直ちに log\| 分母 \|+C とすることができます。(丸もうけです。)
(問題4-1) dx	(答案) 被積分関数で(分母)’=(分子)となっているから (原式) = log\| \|+C
(問題4-2) dx	(答案) 被積分関数で(分母)’=(分子)となっているから (原式) = log(ex+)+C ※　なお，原式の分母は，つねに正だから \| \| 記号は不要。
(問題4-3) dx	(答案) dx = dx と変形すると，被積分関数で(分母)’=(分子)となっているから (原式) = log\|\|+C

【補足】

　 $\int (ax+ b)^ndx$ や $\int x(ax+ b)^ndx$ の積分を求めたいとき， $ax+ b=t$ とおくとできることが多い．

　例えば， $\int x(2x+ 3)^2dx$ を計算したいとき，このまま積分するには $\int x(4x^2+ 12x+ 9)dx$ のように２乗の部分を展開しなければならないが， $ax+ b=t$ とおくと
$\int\frac{t-3}{2}\cdot t^2\cdot \frac{dt}{2}$
となって，2乗の展開が不要になる．

【補足1】　次の不定積分を求めよ．
$\int x(2x+ 3)^2dx$

（解答）

$2x+ 3=t$ とおくと
$x=\frac{t-3}{2}$
$\frac{dt}{dx}=2$

$\int x(2x+ 3)^2dx=\int\frac{t-3}{2}\cdot t^2\cdot \frac{dt}{2}$
$=\frac{1}{4}\int(t^3-3t^2)dt=\frac{1}{4}\left(\frac{t^4}{4}-t^3\right)+ C$
$=\frac{(2x+ 3)^4}{16}-\frac{1}{4}(2x+ 3)^3+ C$

【補足2】　次の不定積分を求めよ．
$\int \frac{x}{(2x+ 3)^2}dx$

（解答）

$2x+ 3=t$ とおくと
$x=\frac{t-3}{2}$
$\frac{dt}{dx}=2$

$\int\frac{x}{(2x+ 3)^2}dx=\int\frac{t-3}{2}\cdot\frac{1}{t^2}\cdot \frac{dt}{2}$
$=\frac{1}{4}\int(\frac{1}{t}-3t^{-2})dt=\frac{1}{4}\left(\log|t|+\frac{3}{t}\right)+ C$
$=\frac{1}{4}\left(\log|2x+ 3|+\frac{3}{2x+ 3}\right)+ C$

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の置換積分について／18.9.4］

全然分からなかったので、ヒントをお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．十分たくさんのヒントが書いてあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の置換積分について／18.6.23］

少し読みづらい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．漠然と書くのでなく，もっと具体的に指摘してもらう方が，他の人のためにもなるでしょう．たとえば，スマホの機種ごとに利用可能なフォントが違うので，積分記号の表示，被積分関数との間隔がＰＣ版と異なる形で表示されることがあります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の置換積分について／17.10.5］

まとまっていて、簡単な練習問題で演習しながら理解できたのでとても役に立った。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の置換積分について／16.10.21］

もう少しレベルの高い実践的な問題を1問置くといいと思った
＝＞［作者］：連絡ありがとう．言われる意味は分かりました．なお,頁の初めにあるサブメニューで同(2)を行ってもらうことができます．