■分数関数の不定積分

◇解説◇

　　○　基本公式
  • log|x|の微分は.1xnだから，

    ∫wn .1xndx = log|x| + C
  • log|ax+b|を微分すると .aax+bnnnn となって，a が掛けられるから，逆に積分するときは，あらかじめ a で割っておきます．

    ∫wn .1ax+bnnnndx = .log|ax+b|annnnnnnn+C
  • 分母が１次式に因数分解できるときは，部分分数に分けて個々に積分計算を行います．

    例：∫wn .1(x−2)(x−1)nnnnnnnnnn dx

    = ∫wn ( .1x−2nnn −.1x−1nnn )dx

    = log|x−2|−log|x−1|+C

    = log| .x−2x−1nnn |+C
※　分母の２次式が実係数で因数分解できないものの「不定積分」は高校の範囲外です．
例

∫wn .1x2+1nnnn dx は置換積分でできますが，変数が戻せないので

範囲外ですが，

1∫0www .1x2+1nnnn dx は 置換積分で値になるので範囲内です． 		◇準備体操◇　次の空欄を埋めなさい．
(1)　 .1x2−1nnnn = .1nn ( .1x−1nnn −.1x+1nnn )

 だから

　∫wn.1x2−1nnnndx = .1nn ∫wn ( .1x−1nnn −.1x+1nnn )dx

(2) 　 .1(2x+1)(3x+1)nnnnnnnnnnn = .a2x+1nnnn + .b3x+1nnnn

となる定数 a, b を求めると，
恒等式 a(3x+1)+b(2x+1) = 1 の両辺の係数を比較して
3a+2b = 0, a+b = 1 より，
a = ，b = となるから
∫wn.1(2x+1)(3x+1)nnnnnnnnnnnn dx = ∫wn ( .−22x+1nnnn + .33x+1nnnn )dx


 (3)　[積分計算以前の前提]

(分子の次数)≧(分母の次数)のときは，割り算によって商と余りに分け，(分子の次数)＜(分母の次数)に変形してから積分計算を行います。すなわち
A÷B = Q･･･R ならば
A = BQ+R
.ABn = Q+.RBn

を用いて，分子の次数を下げます．このような操作で残った分数関数について左の公式で積分を行うということです．

∫wn.2x2+1x(x+1)nnnnnndx = ∫wn (+.−2x+1x(x+1)nnnnnn )dx

■　問題　次の空欄を埋めなさい。
○空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします．
○分からないときはを押せば，段階的にヒントが出ます．
(1)　∫wn.2x+1x−1nnnn dx

1　2解答



= +log||+C･･･答
(2)　∫wn.x2−3x+2nnnn dx

1　2解答

= .x2nn −+log||+C･･･答

(3)　∫wn.dx(x−1)(x+2)nnnnnnnnnn

1　2解答


= .1nn log| .x−x+nnnnn |+C ･･･答
(4)　∫wn.dx9x2−1nnnnn


1　2解答




= .1nn log| .3x−13x+1nnnn |+C ･･･答

(5)　∫wn.3x2+1(x+1)2(x+2)nnnnnnnnnnn dx


1　2解答



=−.x+1nnn− log|x+1|+ log|x+2|+C ･･･答
(6)　∫wn.x2−1x2−2nnnn dx


1　2解答




= +..√2√ninn log| .x−.√2√nix+.√√nninnnnnn |+C･･･答
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数関数の不定積分について／18.7.11］
ウェブ上で問題を解くことができるところはいいと思う が、採点をするを押してもイラストが表示されるだけで回答は表示されない 回答まで表示していただきたい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．計算1，計算2で詳細な途中経過が表示されますが，…さらに解答も表示できるようにしました．（ぶつぶつ）

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