数学B.ベクトル（公式と例）

== 数学B.ベクトル（公式と例） ==

　このページは，教科書に太枠で書かれているレベルの公式を一覧表にして，各々の使い方を1,2題ずつ示したものです．
　高校の定期試験や大学入試問題などと比較すると，内容的に「非常に薄い」ものですので，その点よろしく．
　これらの公式を始めてみる人が，このページだけで身に着けるのは無理です．一度学習した人が，思い出す場合を想定しています．
　もう少し詳しい内容，証明などがあるページはリンクで示しています．

【1. 　ベクトルの平行条件】
$\vec{a}\ne 0,\hspace{3}\vec{b}\ne 0$ のとき，

≪定数倍で調べるとき≫
$\vec{a}//\vec{b}\leftrightarrow\vec{b}=k\vec{a}$
となる実数 $k$ が存在すること…(1.1)

≪内積で調べるとき≫
$\vec{a}//\vec{b}\leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm\mid\hspace{1}\vec{a}\hspace{1}\mid\hspace{1}\mid\hspace{1}\vec{b}\hspace{1}\mid$ …(1.2)

$\vec{a}\ne 0$ のとき， $\vec{a}$ と同じ向きに平行な単位ベクトルは
$\frac{\vec{a}}{\mid\vec{a}\mid}$ …(1.3)
$\vec{a}$ と逆向きに平行な単位ベクトルは
$-\frac{\vec{a}}{\mid\vec{a}\mid}$ …(1.4)
【2. 　3点が一直線上にあるための条件】
異なる3点 $A,\hspace{2}B,\hspace{2}C$ が一直線上にあるための必要十分条件（共線条件とも呼ばれる）は

≪定数倍で調べるとき≫
$\vec{AC}=k\vec{AB}$ となる実数 $k$ が存在すること…(2.1)

(1.2)と同様に $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\pm\mid\hspace{1}\vec{AB}\hspace{1}\mid\hspace{1}\mid\hspace{1}\vec{AC}\hspace{1}\mid$ …(2.2)としてもよいが，式がやや複雑になる

【例1.1】
２つのベクトル $\vec{a}=(1,\hspace{2}-2),\hspace{2}\vec{b}=(3,\hspace{2}t)$ が平行になるように，定数 $t$ の値を定めてください．

$\vec{b}=k\vec{a}$ とおく
$(3,\hspace{2}t)=k(1,\hspace{2}-2)$ を成分に分けると

$3=k$ …(1)
$t=-2k$ …(2)
この連立方程式を解くと， $t=-6$ …(答)

$\Delta ABC$ において， $AB$ の中点を $P$ ， $AC$ の中点を $Q$ とすると， $PQ//BC$ となることを証明してください．

$\vec{AP}=\frac{1}{2}\vec{AB},\hspace{3}\vec{AQ}=\frac{1}{2}\vec{AC}$
だから
$\vec{PQ}=\vec{AQ}-\vec{AP}=\frac{1}{2}\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{AB}$
$=\frac{1}{2}(\vec{AC}-\vec{AB})=\frac{1}{2}\vec{BC}$
したがって， $PQ//BC$

【例1.2】
２つのベクトル $\vec{a}=(1,\hspace{2}-2),\hspace{2}\vec{b}=(3,\hspace{2}t)$ が平行になるように，定数 $t$ の値を定めてください．

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm\mid\hspace{1}\vec{a}\hspace{1}\mid\hspace{1}\mid\hspace{1}\vec{b}\hspace{1}\mid$ より
$3-2t=\pm\sqrt{5}\sqrt{9+ t^2}$
両辺を2乗すると
$4t^2-12t+ 9=45+ 5t^2$
$t^2+ 12t+ 36=0$
$(t+ 6)^2=0$
$t=-6$ …(答)

【例1.3】
$\vec{a}=(3,\hspace{2}4)$ と同じ向きに平行な単位ベクトルを求めてください．

$\mid\vec{a}\mid=\sqrt{3^2+ 4^2}=5$ だから
$\frac{\vec{a}}{\mid\vec{a}\mid}=(\frac{3}{5},\hspace{2}\frac{4}{5})$ …(答)

$\Delta OAB$ において $\vec{OA}=\vec{a},\hspace{3}\vec{OB}=\vec{b}$ とするとき，
∠ $AOB$ の二等分線のベクトル方程式を求めてください．

$\vec{a}+\vec{b}$ のように単純に足せば，長い方に引きずられて，中点に向かうが，大きさをそろえて（単位ベクトルに直して）足すと，ちょうど角の二等分線に向かう．
$\vec{OP}=t\left(\frac{\vec{a}}{\mid\vec{a}\mid}+\frac{\vec{b}}{\mid\vec{b}\mid}\right)$ …(答)

【例2.1】
3点 $P,\hspace{2}Q,\hspace{2}R$ の位置ベクトルが，各々 $2\vec{a}-\vec{b},\hspace{2}\vec{a}+\vec{b},$ $-\vec{a}+ 5\vec{b}$ であるとき，この3点は一直線上にあることを証明してください．

$\vec{PQ}=(\vec{a}+\vec{b})-(2\vec{a}-\vec{b})=-\vec{a}+ 2\vec{b}$
$\vec{PR}=(-\vec{a}+ 5\vec{b})-(2\vec{a}-\vec{b})=-3\vec{a}+ 6\vec{b}$
だから $\vec{PR}=3\vec{PQ}$ が成り立つ．したがって， $P,\hspace{2}Q,\hspace{2}R$ は一直線上にある．

3点 $A(1,\hspace{2}2),\hspace{2}B(2,\hspace{2}4),\hspace{2}C(-1,\hspace{2}y)$ が一直線上にあるように定数 $y$ の値を定めてください．

$\vec{AB}=(2,\hspace{2}4)-(1,\hspace{2}2)=(1,\hspace{2}2)$
$\vec{AC}=(-1,\hspace{2}y)-(1,\hspace{2}2)=(-2,\hspace{2}y-2)$
$\vec{AC}=k\vec{AB}$ となればよいから
$(-2,\hspace{2}y-2)=k(1,\hspace{2}2)$

$-2=k$ …(1)
$y-2=2k$ …(2)
この連立方程式を解くと， $y=-2$ …(答)

【3. 　ベクトルの垂直条件】
$\vec{a}\ne 0,\hspace{3}\vec{b}\ne 0$ のとき，

$\vec{a}\perp\vec{b}\leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ …(3.1)

【例3.1】
２つのベクトル $\vec{a}=(1,\hspace{2}-2),\hspace{2}\vec{b}=(3,\hspace{2}t)$ が垂直になるように，定数 $t$ の値を定めてください．

$\vec{a}\cdot\vec{b}=3-2t=0$
$t=\frac{3}{2}$ …(答)

$OA=OB$ である二等辺三角形 $\Delta OAB$ において， $AB$ の中点を $M$ とすると， $OM\perp AB$ となることを証明してください．

$\vec{OA}=\vec{a},\hspace{2}\vec{OB}=\vec{b}$ とおくと，仮定により
$\mid\vec{a}\mid=\mid\vec{b}\mid$ …(1);
$\vec{OM}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2},\hspace{3}\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}$
$\vec{OM}\cdot\vec{AB}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\cdot(\vec{b}-\vec{a})$
$=\frac{\vec{b}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{a}}{2}$
$=\frac{\mid\vec{b}\mid^2-\mid\vec{a}\mid^2}{2}$
ここで(1)により $\mid\vec{a}\mid=\mid\vec{b}\mid$ だから
$\vec{OM}\cdot\vec{AB}=0$
したがって， $OM\perp AB$

【4. ベクトルの分解（ベクトルの一次独立）】
$\vec{a}\ne 0,\hspace{3}\vec{b}\ne 0,\hspace{3}\vec{a}$

$\vec{b}$ のとき，

$s\vec{a}+ t\vec{b}=\vec{0}\leftrightarrow s=t=0$ …(4.1)

$s\vec{a}+ t\vec{b}=p\vec{a}+ q\vec{b}\leftrightarrow s=p,\hspace{3}t=q$ …(4.2)

この性質は，ベクトル方程式で表された直線の交点を求めるときによく使われます

【例4.1】
三角形 $\Delta OAB$ の頂点の位置ベクトルを各々 $O(\vec{0}),\hspace{2}A(\vec{a}),$ $B(\vec{b})$ とするとき，頂点 $O$ から辺 $AB$ の中点 $P$ に引いた直線 $OP$ と，頂点 $A$ から辺 $OB$ の中点 $Q$ に引いた直線 $AQ$ の交点 $G$ の位置ベクトルを求めてください．

直線 $OP$ のベクトル方程式は
$\vec{OX}=s\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$
直線 $AQ$ のベクトル方程式は
$\vec{OX}=\vec{a}+ t\left(\frac{\vec{b}}{2}-\vec{a}\right)$
交点 $G$ はこれらを両方とも満たすから
$\vec{OG}=s\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}=\vec{a}+ t\left(\frac{\vec{b}}{2}-\vec{a}\right)$
$(\frac{s}{2}-1+ t)\vec{a}+ (\frac{s}{2}-\frac{t}{2})\vec{b}=\vec{0}$
ここで $\vec{a}\ne 0,\hspace{3}\vec{b}\ne 0,\hspace{3}\vec{a}$

$\vec{b}$ だから
$\frac{s}{2}-1+ t=0,\hspace{3}\frac{s}{2}-\frac{t}{2}=0$
この連立方程式を解くと
$s=t=\frac{2}{3}$
よって
$\vec{OG}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{3}$ …(答)

【例4.2】

上記の問題を
$\vec{OG}=s\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}=\vec{a}+ t\left(\frac{\vec{b}}{2}-\vec{a}\right)$
から
$\frac{s}{2}\vec{a}+\frac{s}{2}\vec{b}=(1-t)\vec{a}+ \frac{t}{2}\vec{b}$
$\vec{a}\ne 0,\hspace{3}\vec{b}\ne 0,\hspace{3}\vec{a}$

$\vec{b}$ だから
$\frac{s}{2}=1-t,\hspace{3}\frac{s}{2}=\frac{t}{2}$
として解くと(4.2)の形で使ったことになります．要するに(4.1)と(4.2)は移項して左辺に集めるか，そのまま両辺を比較するかの違いで，内容的には同じものと考えてよい．

【5. 平面ベクトルの成分表示】
$\vec{a}=(a_1,\hspace{2}a_2),\hspace{2}\vec{b}=(b_1,\hspace{2}b_2)$ のとき

ベクトルの相等
$\vec{a}=\vec{b}\leftrightarrow a_1=b_1,\hspace{2}a_2=b_2$ …(5.1)

ベクトルの和
$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+ b_1,\hspace{2}a_2+ b_2)$ …(5.2)

ベクトルの差
$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,\hspace{2}a_2-b_2)$ …(5.3)

ベクトルの実数倍
$k\vec{a}=(ka_1,\hspace{2}ka_2)$ …(5.4)

ベクトルの大きさ（長さ）
$\mid\vec{a}\mid=\sqrt{a_1^2+ a_2^2}$ …(5.5)

【例5.1】
2つのベクトル $\vec{a}=(x,\hspace{2}1)$ と $\vec{b}=(2,\hspace{2}y)$ が等しくなるように， $x,\hspace{2}y$ の値を定めてください．

$(x,\hspace{2}1)=(2,\hspace{2}y)$ より， $x=2,\hspace{2}y=1$ …(答)

【例5.2】
$\vec{a}=(2,\hspace{2}-3),\hspace{3}\vec{b}=(3,\hspace{2}4)$ のとき， $\vec{a}+\vec{b}$ を成分で表示してください．

$\vec{a}+\vec{b}=(2,\hspace{2}-3)+(3,\hspace{2}4)=(5,\hspace{2}1)$ …(答)

【例5.3】
$\vec{a}=(2,\hspace{2}-3),\hspace{3}\vec{b}=(3,\hspace{2}4)$ のとき， $\vec{a}-\vec{b}$ を成分で表示してください．

$\vec{a}-\vec{b}=(2,\hspace{2}-3)-(3,\hspace{2}4)=(-1,\hspace{2}-7)$ …(答)

【例5.4】
$\vec{a}=(2,\hspace{2}-3)$ のとき， $4\vec{a}$ を成分で表示してください．

$4\vec{a}=4(2,\hspace{2}-3)=(8,\hspace{2}-12)$ …(答)

【例5.5】
$\vec{a}=(2,\hspace{2}-3)$ のとき， $\mid\vec{a}\mid$ を求めてください．

$\mid\vec{a}\mid=\sqrt{2^2+ (-3)^2}=\sqrt{13}$ …(答)

【6.　2点を結ぶベクトルの成分表示】
$A(a_1,\hspace{2}a_2)$ のとき
$\vec{OA}=(a_1,\hspace{2}a_2)$ …(6.1)
$A(a_1,\hspace{2}a_2),\hspace{2}B(b_1,\hspace{2}b_2)$ のとき
$\vec{AB}=(b_1-a_1,\hspace{2}b_2-a_2)$ …(6.2)

※点の座標の書き方 $(a_1,\hspace{2}a_2)$ とベクトルの成分表示の書き方 $(a_1,\hspace{2}a_2)$ は全く同じです．前後の文脈からどちらの話なのかを判断します．
　なお，点の座標を表すときは $A(a_1,\hspace{2}a_2)$ のように点の名前と座標の間には何も書きませんが，ベクトルの成分を表すときには $\vec{a}=(a_1,\hspace{2}a_2)$ のようにベクトルの名前とその成分の間には等号を書きます．

【例6.1】
平面上に点 $A(3,\hspace{2}-4)$ があるとき，原点 $O(0,\hspace{2}0)$ と点 $A$ を結ぶベクトル $\vec{OA}$ の成分を求めてください．

$\vec{OA}=(3,\hspace{2}-4)$ …(答)

【例6.2】
平面上に2点 $A(1,\hspace{2}2),\hspace{2}B(3,\hspace{2}5)$ があるとき，ベクトル $\vec{AB}$ の成分を求めてください．

$\vec{AB}=(3-1,\hspace{2}5-2)=(2,\hspace{2}3)$ …(答)
※各成分を，（終点の座標）−（始点の座標）で計算します．
ベクトルの記号に引きずってられて，（始点の座標）−（終点の座標）としてしまう初歩的なミスを時々見かけますので注意しましょう．

【2点を結ぶベクトルの大きさ】
$A(a_1,\hspace{2}a_2)$ のとき
$\mid\vec{OA}\mid=\sqrt{a_1^2+ a_2^2}$ …(6.3)
$A(a_1,\hspace{2}a_2),\hspace{2}B(b_1,\hspace{2}b_2)$ のとき
$\mid\vec{AB}\mid=\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2-a_2)^2}$ …(6.4)

※これらの公式は2点間の距離の公式と全く同じです．
(6.3) $\leftarrow\rightarrow OA=\sqrt{a_1^2+ a_2^2}$
(6.4) $\leftarrow\rightarrow AB=\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2-a_2)^2}$
※感覚的なたとえ話：「厚化粧の二度塗り」は「何もない」のと同じ $\mid\vec{OA}\mid=OA,\hspace{5}\mid\vec{AB}\mid=AB$

【例6.3】
平面上に点 $A(3,\hspace{2}-4)$ があるとき，原点 $O(0,\hspace{2}0)$ と点 $A$ を結ぶベクトル $\vec{OA}$ の大きさを求めてください．

$\vec{OA}=(3,\hspace{2}-4)$ だから
$\mid\vec{OA}\mid=\sqrt{3^2+ (-4)^2}=\sqrt{25}=5$ …(答)

【例6.4】
平面上に2点 $A(1,\hspace{2}2),\hspace{2}B(3,\hspace{2}5)$ があるとき，ベクトル $\vec{AB}$ の大きさを求めてください．

$\vec{AB}=(3-1,\hspace{2}5-2)=(2,\hspace{2}3)$ だから
$\mid\vec{AB}\mid=\sqrt{2^2+ 3^2}=\sqrt{13}$ …(答)

【7.　ベクトルの内積】
≪矢印と角を使ったベクトル内積の定義≫
２つのベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ のなす角が $\theta\hspace{5}(0^{\circ}\underline{\le}\theta\underline{\le}180^{\circ})$ とき
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\mid\vec{a}\mid\mid\vec{b}\mid\cos\theta$ …(7.1)
≪成分使ったベクトル内積の計算≫
$\vec{a}=(a_1,\hspace{2}a_2),\hspace{2}\vec{b}=(b_1,\hspace{2}b_2)$ のとき
$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+ a_2b_2$ …(7.2)

【例7.1】
$\mid\vec{a}\mid=2,\hspace{2}\mid\vec{b}\mid=3$ で， $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ のなす角が $\theta=30^{\circ}$ のとき，内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求めてください．

$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times 3\times\cos 30^{\circ}=2\times 3\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$

1辺の長さが $2$ の正三角形 $ABC$ において，内積 $\vec{AB}\cdot\vec{BC}$ を求めてください．

２つのベクトルのなす角は，始点をそろえてから測るので，右図のように $\vec{BC}$ の始点 $B$ を $A$ にそろえて， $\vec{AD}$ にしてから角度を測ります．
　正三角形の内角は60°だから $\vec{AB}$ と $\vec{AD}$ のなす角は120°になります．
$\vec{AB}\cdot\vec{BC}=2\times 2\times\cos 120^{\circ}=4\times(-\frac{1}{2})=-2$

【例7.2】
$\vec{a}=(2,\hspace{2}3),\hspace{2}\vec{b}=(-4,\hspace{2}5)$ で， $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ のとき，内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求めてください．

$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times(-4)+ 3\times 5=7$

【8.　ベクトルのなす角】
２つのベクトル $\vec{a}=(a_1,\hspace{2}a_2),\hspace{2}\vec{b}=(b_1,\hspace{2}b_2)$ のなす角を $\theta$ とすると（ただし， $\vec{a}\ne \vec{0},\hspace{2}\vec{b}\ne \vec{0}$ ）
$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid\mid\vec{b}\mid}=\frac{a_1b_1+ a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+ a_2^2}\sqrt{b_1^2+ b_2^2}}$ …(8.1)

【例8.1】
$\vec{a}=(2,\hspace{2}2),\hspace{2}\vec{b}=(3,\hspace{2}0)$ のとき，２つのベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ のなす角を求めてください．

$\mid\vec{a}\mid=\sqrt{2^2+ 2^2}=2\sqrt{2},\hspace{5}\mid\vec{b}\mid=3$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times 3+ 2\times 0=6$
だから
$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid\mid\vec{b}\mid}=\frac{6}{2\sqrt{2}\times 3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\hspace{5}(0\underline{\le}\theta\underline{\le}180^{\circ})$
$\theta=45^{\circ}$