内分点の内分点

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== 内分点の内分点 ==
■［解説］
　△ABCにおいてA, B, Cの位置ベクトルを各々

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

とするとき，

で表される点Ｐは,

と変形することにより（割って掛ければ変わらない）
ABを２：１に内分する点D()を用いて，

と表されます。
したがって，PはＤＣを４：３に内分する点となります。

【要約】
で表される点Ｐは,ＡＢを２：１に内分する点をＤとするとき，ＤＣを４：３に内分する点。

　この結果を使って，次のような三角形の面積比を答えさせる問題がよく見られます。

△ADP=4tとおくと、△ACP=3t
(高さが共通，底辺が4:3)
　△BDP=2t(△ADPの半分)
　△BCP=1.5t(△ACPの半分)
となるから
△ABP:△BCP:△CAPの面積比は，6t:1.5t:3t=12:3:6=4:1:2
（分子の係数の比：向かい側）

【一般に】

\vec{p} = \frac{k \vec{a} + l \vec{b} + m \vec{c}}{n}

(n = k + l + m,

k > 0, l > 0, m > 0)

で表される点

P (\vec{p})

は，ABをl:kに内分する点をDとするとき，DCをm:(k+l)に内分する点となります。

（解説）
まず，内分点の公式により，ABをl:kに内分する点Dの位置ベクトルを求めると

\vec{d} = \frac{k \vec{a} + l \vec{b}}{l + k}

…(1)
さらに，内分点の公式により，DCをm:(l+k)に内分する点Pの位置ベクトルを求めると

\vec{p} = \frac{(l + k) \vec{d} + m \vec{b}}{m + (l + k)}

…(2)
(1)を(2)に代入すると

\vec{p} = \frac{(l + k) (\frac{k \vec{a} + l \vec{b}}{l + k}) + m \vec{b}}{m + (l + k)}

= \frac{k \vec{a} + l \vec{b} + m \vec{c}}{k + l + m}

（参考）
　BCをm:lに内分する点をEとするとき，EAをk:(l+m)に内分する点と述べても同じです。

\vec{e} = \frac{l \vec{b} + m \vec{c}}{l + m}

…(3)

\vec{p} = \frac{(l + m) \vec{e} + k \vec{a}}{k + (l + m)}

…(4)
より

\vec{p} = \frac{(l + m) (\frac{l \vec{b} + m \vec{c}}{l + m}) + k \vec{a}}{k + (l + m)}

= \frac{k \vec{a} + l \vec{b} + m \vec{c}}{k + l + m}

同様にして，

\vec{p} = \frac{(m + k) (\frac{k \vec{a} + m \vec{c}}{m + k}) + l \vec{b}}{k + l + m}

と変形すると，ACをm:kに内分する点をFとするとき，FBをl:(m+k)に内分する点を表しているとも言えます。

【ここが変形のポイント】

■［問題］
１　
　△ＡＢＣにおいてＡ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルを各々，，　とするとき，
　で表される点Ｐについて，次の空欄を埋めなさい。

(最も簡単な整数比で答えなさい。)

２
　△ＡＢＣにおいてＡ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルを各々，，　とするとき，
　で表される点Ｐについて，次の空欄を埋めなさい。

(最も簡単な整数比で答えなさい。)

３
　△ABCの内部に点Pがあり，が成り立つとき，

(最も簡単な整数比で答えなさい。)

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