交点の内分比，ベクトル，複素数，メネラウスの定理,チェバの定理

...(ＰＣ版)メニューに戻る
*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Bの「ベクトル」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓ベクトルの定義
↓ベクトルの和
↓ベクトルの差
↓2点間のベクトル
↓ベクトルの実数倍
↓ベクトルの実数倍･和･差

↓ベクトルの図形への応用
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓同(5)
↓同(6)

↓内分点の内分点
↓同(2)

↓点の存在範囲
↓同(2)

↓２直線の交点1
↓２直線の交点2-現在地
↓外心,重心,垂心,内心,オイラー線

↓ベクトル成分の計算
↓ベクトルの大きさ

↓ベクトルの内積
↓ベクトルの内積（成分）
↓ベクトルのなす角
↓|a|の変形

↓ベクトルの平行条件,垂直条件
↓一直線上にある条件

↓ベクトル方程式（内積）
↓ベクトルの公式一覧

センター試験.ベクトル.三角関数(2013年～)

【このページのテーマ】

このページでは，次のような問題を，平面幾何の定理やベクトル（複素数）を使って解く方法を考えます.

　△ABCにおいて，ABをk:lに内分する点をP，CAをm:nに内分する点をRとし，CPとBRの交点をXとする．さらに，AXの延長がBCと交わる点をQとする．
　このとき，BQ:QC, AX:XQ, BX:XR, CX:XPは幾らになるか？

【要点１：メネラウスの定理】

(メネラウスはギリシャの数学者,1世紀

　直線lが△ABCの３辺AB, BC, CAまたはその延長と，それぞれ，P, Q, Rで交わるとき，次の式が成り立つ．

\frac{A P}{P B} \cdot \frac{B Q}{Q C} \cdot \frac{C R}{R A} = 1

（公式の見方）
　右図のように，頂点Aからスタートして，交点Pまでの長さを分子（上）とし，次に，交点Pから頂点Bまでの長さを分母（下）とする．以下同様に分数を掛けて行って，頂点Aまで戻ったら，それらの分数の積が１になるという意味
　右の図では，交点Qだけ変な位置にあるように見えるが，１つの直線と３辺AB, BC, CAの交点を考えるとき，少なくとも１つの交点は辺の延長上に来る．
　③：BC→④：CQと見るのではなく，上の定理のように③：BQ→④：QCと正しく読むには，機械的に
頂点A→交点→頂点B→交点→頂点C→交点→(頂点A) のように，頂点と交点を交互に読めばよい．

【要するに】

分母と分子を逆に覚えても（①③⑤を分母にしても）結果が１になるのだから，式としては正しい．
通常，「メネラウスの定理」という場合は分子からスタートする流れになっている．

※証明はこのページ

【要点２：チェバの定理】

(チェバはイタリアの数学者,17世紀

　△ABCの辺上にない１点Oをとり，Oと頂点A, B, Cを結ぶ直線がそれぞれ辺AB, BC, CAまたはその延長と交わる点をP, Q, Rとするとき，次の式が成り立つ．

\frac{A P}{P B} \cdot \frac{B Q}{Q C} \cdot \frac{C R}{R A} = 1

※チェバの定理の式自体は，メネラウスの定理と全く同じ形になりますが，P, Q, Rの場所が違います．
メネラウスの定理では３点P, Q, Rは１直線上に並びますが，チェバの定理では，それぞれ辺AB, BC, CAにあります．

（公式の見方）
　右図のように，頂点Aからスタートして，交点Pまでの長さを分子（上）とし，次に，交点Pから頂点Bまでの長さを分母（下）とする．以下同様に分数を掛けて行って，頂点Aまで戻ったら，それらの分数の積が１になるという意味
　機械的に
頂点A→交点→頂点B→交点→頂点C→交点→(頂点A) のように，頂点と交点を交互に読めばよいのもメネラウスの定理と同じ．

【要するに】

分母と分子を逆に覚えても（①③⑤を分母にしても）結果が１になるのだから，式としては正しい．
通常，「チェバの定理」という場合は分子からスタートする流れになっている．

※チェバの定理は，点Oが△ABCの外部にある場合にも証明できる．
※証明はこのページ

【要点3：直線の交点をベクトルや複素数で求める方法】

　右図のような△OABにおいて，辺OAを3:2に内分する点をC，辺OBを4:5に内分する点をDとするとき，直線ADと直線BCの交点Pの位置ベクトル

\vec{O P}

を求める方法

　Pは直線BC上にあるから

\vec{O P} = \vec{O C} + s \vec{C B}

（sは１よりも小さな実数，つまりCBを何倍に縮小したらCPになる）

\vec{O P} = \frac{3}{5} \vec{a} + s (\vec{b} - \frac{3}{5} \vec{a}) = \frac{3}{5} (1 - s) \vec{a} + s \vec{b}

…(1)
また，Pは直線AD上にあるから

\vec{O P} = \vec{O D} + t \vec{D A}

（tは１よりも小さな実数，つまりDAを何倍に縮小したらDPになる）

\vec{O P} = \frac{4}{9} \vec{b} + t (\vec{a} - \frac{4}{9} \vec{b}) = t \vec{a} + \frac{4}{9} (1 - t) \vec{b}

…(2)
ADとBCの交点Pは(1)(2)の両方を満たす．逆に(1)(2)の両方を満たす点はADとBCの交点になる．そこで(1)(2)が成立するような実数s, tを求めるとよい．

\frac{3}{5} (1 - s) \vec{a} + s \vec{b} = t \vec{a} + \frac{4}{9} (1 - t) \vec{b}

…(3)

【ベクトルの１次独立】
■1 一般に，平行でなく零ベクトルでもない２つのベクトル

\vec{a}, \vec{b}

が

s \vec{a} + t \vec{b} = \vec{0}

を満たすなら

s = 0, t = 0

が成り立ちます．

（証明）

s \neq 0

ならば，

\vec{a} = - \frac{t}{s} \vec{b}

と変形できて，

\vec{a} / / \vec{b}

となる．これは平行でないという仮定に反する．よって，

s = 0

次に，

s = 0

なら，

t \vec{b} = \vec{0}

になるが，

\vec{b}

は零ベクトルでないから

t = 0

以上により，

s = 0, t = 0

■2 上記の定理から，次の定理が導かれる．
　平行でなく零ベクトルでもない２つのベクトル

\vec{a}, \vec{b}

が

s_{1} \vec{a} + t_{1} \vec{b} = s_{2} \vec{a} + t_{2} \vec{b}

を満たすなら

s_{1} = s_{2}, t_{1} = t_{2}

が成り立つ．

（証明）

s_{1} \vec{a} + t_{1} \vec{b} = s_{2} \vec{a} + t_{2} \vec{b}

ならば，

(s_{1} - s_{2}) \vec{a} + (t_{1} - t_{2}) \vec{b} = \vec{0}

となり，上記の結果から

s_{1} - s_{2} = 0, t_{1} - t_{2} = 0

がいえる．

(3)より，次の連立方程式を解けばよいことになります．

\frac{3}{5} (1 - s) = t

s = \frac{4}{9} (1 - t)

この連立方程式を解くと，

s = \frac{8}{33}, t = \frac{5}{11}

となるから（途中経過は各自確認してください）
これを(1)または(2)に代入すると

\vec{O P} = \frac{15 \vec{a} + 8 \vec{b}}{33}

…(答)

※この問題を，複素数平面上において直線の交点を求めることにした場合，点A, B, Pを表す複素数を各々α, β, zとおけば，上記とほとんど同じ形で求められます．

【要点４：内分点の公式を２段階に使う方法】

　右図１のように，２点A, Bの位置ベクトルを

\vec{a}, \vec{b}

とすると，線分ABをm:nに内分する点Xの位置ベクトルは

\frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}

になります．

　右図２のように，３点A, B, Cの位置ベクトルを

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

とすると，

\frac{p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}}{p + q + r}

で表される点は

ABをq:pに内分する点をDとするとき，DCをr:(q+p)に内分する点になります． …(1)

BCをr:qに内分する点をEとするとき，EAをp:(r+q)に内分する点になります． …(2)

CAをp:rに内分する点をFとするとき，FBをq:(r+p)に内分する点になります． …(3)

　図１とその公式は教科書に載っている基本なので，ここでは証明は省略する．
　図２の式は，次のように変形すると分かります．

\frac{p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}}{p + q + r} = \frac{(q + p) \frac{p \vec{a} + q \vec{b}}{q + p} + r \vec{c}}{r + (q + p)}

は

\frac{p \vec{a} + q \vec{b}}{q + p}

と

\vec{c}

をr:(q+p)に内分する． →(1)

\frac{p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}}{p + q + r} = \frac{p \vec{a} + (q + r) \frac{q \vec{b} + r \vec{c}}{q + r}}{p + (q + r)}

は

\frac{q \vec{b} + r \vec{c}}{q + r}

と

\vec{a}

をp:(q+r)に内分する． →(2)

\frac{p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}}{p + q + r} = \frac{q \vec{b} + (p + r) \frac{p \vec{a} + r \vec{c}}{p + r}}{q + (p + r)}

は

\frac{p \vec{a} + r \vec{c}}{p + r}

と

\vec{b}

をq:(p+r)に内分する． →(3)

【例題１】
　右図の△ABCにおいて，ABを2:3に内分する点をP，ACを5:4に内分する点をRとし，BRとCPの交点をXとする．さらに，AXの延長がBCと交わる点をQとする．
　このとき，BQ:QC, AX:XQ, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください．

（チェバの定理，メネラウスの定理で解く場合）
■チェバの定理により

\frac{2}{3} \cdot \frac{B Q}{Q C} \cdot \frac{4}{5} = 1

だから

\frac{B Q}{Q C} = \frac{15}{8}

BQ:QC=15:8

次に，メネラウスの定理を使って，△ABCの内部の線分の長さの比を求める．
メネラウスの定理では，三角形と交わる直線の長さの比は出てこずに，直線によって分けられる三角形の辺の比が出てくることに注意
右図のように△ABQに直線PXCが交わるとみると，QX:XAの比が分かる

■メネラウスの定理を右図のように使うと

\frac{2}{3} \cdot \frac{23}{8} \cdot \frac{Q X}{X A} = 1

だから

\frac{Q X}{X A} = \frac{24}{46} = \frac{12}{23}

QX:XA=12:23

■メネラウスの定理を右図のように使うと

\frac{2}{3} \cdot \frac{B X}{X R} \cdot \frac{4}{9} = 1

だから

\frac{B X}{X R} = \frac{27}{8}

BX:XR=27:8

■メネラウスの定理を右図のように使うと

\frac{5}{3} \cdot \frac{P X}{X C} \cdot \frac{4}{5} = 1

だから

\frac{P X}{X C} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}

PX:XC=3:4
CX:XP=4:3

例題1続き（直線の交点をベクトルや複素数で求める場合）

　右図のように点Aを原点に選んで，

\vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}

とおき，2直線CP, BRの交点Xの位置ベクトルを

\vec{b}, \vec{c}

で表すことを考える．
　XはBR上にあるから

\vec{A X} = \vec{A B} + s \vec{B R} (0 < s < 1)

= \vec{b} + s (\frac{5}{9} \vec{c} - \vec{b})

= (1 - s) \vec{b} + \frac{5}{9} s \vec{c}

…(1)
　XはCP上にあるから

\vec{A X} = \vec{A C} + t \vec{C P} (0 < t < 1)

= \vec{c} + t (\frac{2}{5} \vec{b} - \vec{c})

= \frac{2}{5} t \vec{b} + (1 - t) \vec{c}

…(2)
(1)(2)の両方が成り立つから

(1 - s) \vec{b} + \frac{5}{9} s \vec{c} = \frac{2}{5} t \vec{b} + (1 - t) \vec{c}

\vec{b}

と

\vec{c}

は平行でなく，零ベクトルでもないから

1 - s = \frac{2}{5} t

\frac{5}{9} s = 1 - t

この連立方程式を解くと

s = \frac{27}{35}, t = \frac{4}{7}

したがって

B X : X R = s : (1 - s) = \frac{27}{35} : \frac{8}{35} = 27 : 8

C X : X P = t : (1 - t) = \frac{4}{7} : \frac{3}{7} = 4 : 3

また，

s, t

を代入すると

\vec{A X} = \frac{8 \vec{b} + 15 \vec{c}}{35}

だから

この変形を覚えておく方がよい

\vec{A X} = \frac{23}{35} \cdot \frac{8 \vec{b} + 15 \vec{c}}{23}

B Q : Q C = 15 : 8

A X : X Q = 23 : 12

※複素数平面で2直線の交点を求める場合も，ほぼ同様の答案でよい･･･B, C位置ベクトル

\vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}

の代わりに，Aを原点としたときのB, Cが表す複素数をβ, γを用いると，上記の途中計算の

\vec{b}, \vec{c}

をβ, γに置き換えた式が複素数での計算式になる．

例題1続き（内分点の公式を２段階に使う場合）

［再掲］
３点A, B, Cの位置ベクトルを

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

とすると，

\frac{p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}}{p + q + r} = \frac{(q + p) \frac{p \vec{a} + q \vec{b}}{q + p} + r \vec{c}}{r + (q + p)}

で表される点は
ABをq:pに内分する点をPとするとき，PCをr:(q+p)に内分する点になる．

適当な場所に原点をとり，３点A, B, Cの位置ベクトルを

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

とすると，PはABを2:3に内分するから

\vec{O P} = \frac{3 \vec{a} + 2 \vec{b}}{5}

XはCPをk:lに内分する点とすると

\vec{O X} = \frac{k \frac{3 \vec{a} + 2 \vec{b}}{5} + l \vec{c}}{k + l}

これにより，k, lの比が何であっても，

\vec{a}

の係数と

\vec{b}

の係数の比は3:2になる．
p:q=3:2…(1)

RはACを5:4に内分するから

\vec{O R} = \frac{4 \vec{a} + 5 \vec{c}}{9}

XはBRをm:nに内分する点とすると

\vec{O X} = \frac{m \frac{4 \vec{a} + 5 \vec{c}}{9} + n \vec{b}}{m + n}

これにより，m, nの比が何であっても，

\vec{a}

の係数と

\vec{c}

の係数の比は4:5になる．
p:r=4:5…(2)

(1)(2)より，p:q:rを連比にするために，pの値をそろえると（通分する | 最小公倍数にする | 同じスケールで表す）
p:q=3:2=12:8…(1)
p:r=4:5=12:15…(2)
p:q:r=12:8:15

\vec{O X} = \frac{12 \vec{a} + 8 \vec{b} + 15 \vec{c}}{35}

…(*)

(*)により

\vec{O X} = \frac{20 \frac{12 \vec{a} + 8 \vec{b}}{20} + 15 \vec{c}}{35} = \frac{20 \vec{O P} + 15 \vec{c}}{35}

は，CPを20:15=4:3に内分する．

\vec{O X} = \frac{12 \vec{a} + 23 \frac{8 \vec{b} + 15 \vec{c}}{23}}{35} = \frac{12 \vec{a} + 23 \vec{O Q}}{35}

は，AQを23:12に内分する．
また，BCを15:8に内分する．

\vec{O X} = \frac{8 \vec{b} + 27 \frac{12 \vec{a} + 15 \vec{c}}{27}}{35} = \frac{8 \vec{b} + 27 \vec{O R}}{35}

は，BRを27:8に内分する．

（全部できなければならない訳ではない．
どの方法を「自分の得意技」にするか：筆者の印象）
■「三辺の内分比」は，チェバの定理を覚えていればできる．「三角形の内部の線分の比」をメネラウスの定理で解くためには，三角形と交わる直線の選び方に頭を使わなければならない．
■ベクトル（または複素数）を使って２直線の交点を求める方法は，考え方は簡単であるが，計算は大変
■内分点を２段階に使う方法は，p:q:rを求めると，全部の比が分かるが，三角形の内部の点は

\frac{p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}}{p + q + r} (p, q, r > 0)

で表せるということが分かっていなければならないので，その考え方に慣れるまでが大変かもしれない．
このページにも関連事項があります

【例題２】
　右図の△ABCにおいて，ABを1:3に内分する点をP，BCを1:2に内分する点をQとし，BRとCPの交点をXとする．さらに，BXの延長がACと交わる点をRとする．
　このとき，CR:RA, AX:XQ, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください．

（解答）

CR:RA=6:1
AX:XQ=1:2
BX:XR=7:2
CX:XP=8:1

■例題2の詳しい解答■

中学数学の平行線の性質（相似図形）で解く方法

(1) AX:XQを求めよ
QからCPに平行な直線を引き，BPとの交点をSとおくと
BS:SP=BQ:QC=1:2
AX:XQ=AP:PS=1:2…（答）

(2) CX:XPを求めよ
PからXQに平行な直線を引き，BQとの交点をTとおくと
BT:TQ=BP:PA=3:1
BQの縮尺を1→4に4倍しているから，QCも4倍すると
TQ:QC=1:8
CX:XP=CQ:QT=8:1…（答）

(3) CR:RAを求めよ
QからBRに平行な直線を引き，CRとの交点をUとおくと
AR:RU=AX:XQ=1:2
RU:UC=BQ:QC=1:2
RUを2にそろえると
AR:RU:UC=1:2:4
CR:RA=6:1…（答）

(4) BX:XRを求めよ
RからXPに平行な直線を引き，APとの交点をVとおくと
AV:VP=AR:RC=1:6
APの縮尺を1→7に7倍しているから，PBも7倍すると
AV:VP:PB=1:6:21
BX:XR=BP:PV=21:6=7:2…（答）

■例題2の詳しい解答■

数学Aのチェバの定理，メネラウスの定理で解く方法

(1) CR:RAを求めよ
　チェバの定理から，

\frac{A P}{P B} \cdot \frac{B Q}{Q C} \cdot \frac{C R}{R A} = 1

が成り立つから

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{C R}{R A} = 1

\frac{C R}{R A} = \frac{6}{1}

ゆえに，CR:RA=6:1…（答）
(2) BX:XRを求めよ

△ABRに直線PXCが交わる図形に対してメネラウスの定理を適用すると

\frac{A P}{P B} \cdot \frac{B X}{X R} \cdot \frac{R C}{C A} = 1

が成り立つから

\frac{1}{3} \cdot \frac{B X}{X R} \cdot \frac{6}{7} = 1

\frac{B X}{X R} = \frac{7}{2}

ゆえに，BX:XR=7:2…（答）

(3) AX:XQを求めよ

△ABQに直線PXCが交わる図形に対してメネラウスの定理を適用すると

\frac{A P}{P B} \cdot \frac{B C}{C Q} \cdot \frac{Q X}{X A} = 1

が成り立つから

\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{Q X}{X A} = 1

\frac{Q X}{X A} = \frac{2}{1}

ゆえに，AX:XQ=1:2…（答）
(4) CX:XPを求めよ

△APCに直線BXRが交わる図形に対してメネラウスの定理を適用すると

\frac{A B}{B P} \cdot \frac{P X}{X C} \cdot \frac{C R}{R A} = 1

が成り立つから

\frac{4}{3} \cdot \frac{P X}{X C} \cdot \frac{6}{1} = 1

\frac{P X}{X C} = \frac{1}{8}

ゆえに，CX:XP=8:1…（答）

■例題2の詳しい解答■

数学Bのベクトルで内分比を２段階に分けて使う方法

Δ A B C

の頂点の位置ベクトルを各々

A (\vec{a}), B (\vec{b}), C (\vec{c})

とするとき，

\vec{O X} = \frac{p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}}{p + q + r}

(p > 0, q > 0, r > 0)

…(1)
となる点

X

は

Δ A B C

の内部の１点を表す．（逆も言える）

\vec{O X} = \frac{(p + q) \frac{p \vec{a} + q \vec{b}}{p + q} + r \vec{c}}{(p + q) + r}

と変形すると，問題よりp:q=3:1
また

\vec{O X} = \frac{p \vec{a} + (q + r) \frac{q \vec{b} + r \vec{c}}{q + r}}{p + (q + r)}

と変形すると，問題よりq:r=2:1
qを2にそろえると，p:q:r=6:2:1

\vec{O X} = \frac{6 \vec{a} + 2 \vec{b} + \vec{c}}{6 + 2 + 1}

…(*)

CR:RA, AX:XQ, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください．

\vec{O X} = \frac{(6 + 1) \frac{6 \vec{a} + \vec{c}}{6 + 1} + 2 \vec{b}}{(6 + 1) + 2}

と変形できるから，Xは「ACを1：6に内分する点R」と「B」を2:7に内分する．
したがって，CR:RA=6:1, BX:XR=7:2…（答）

\vec{O X} = \frac{6 \vec{a} + (2 + 1) \frac{2 \vec{b} + \vec{c}}{2 + 1}}{6 + (2 + 1)}

と変形できるから，Xは「BCを1：2に内分する点Q」と「A」を6:3に内分する．
したがって，AX:XQ=1:2…（答）

\vec{O X} = \frac{(6 + 2) \frac{6 \vec{a} + 2 \vec{b}}{6 + 2} + \vec{c}}{(6 + 2) + 1}

と変形できるから，Xは「ABを1：3に内分する点P」と「C」を1:8に内分する．
したがって，CX:XP=8:1…（答）

■例題2の詳しい解答■

数学Bのベクトルで2直線の交点を求める方法

　右図において原点をBにとった位置ベクトルを用いて，CPとAQの交点Xを求める．
BからPを通ってXに行くには

\vec{B X} = \vec{B P} + s \vec{P C}

= \frac{3}{4} \vec{a} + s (\vec{c} - \frac{3}{4} \vec{a})

= \frac{3}{4} (1 - s) \vec{a} + s \vec{c}

…(1)
BからQを通ってXに行くには

\vec{B X} = \vec{B Q} + t \vec{Q A}

= \frac{1}{3} \vec{c} + t (\vec{a} - \frac{1}{3} \vec{c})

= t \vec{a} + \frac{1}{3} (1 - t) \vec{c}

…(2)
2直線の交点Xは(1)(2)の両方を満たすから

\frac{3}{4} (1 - s) \vec{a} + s \vec{c} = t \vec{a} + \frac{1}{3} (1 - t) \vec{c}

…(3)
(3)において，

\vec{a}, \vec{c}

は三角形の２辺に対応しているから，平行でなく零ベクトルでもないから

\frac{3}{4} (1 - s) = t

s = \frac{1}{3} (1 - t)

この連立方程式を解くと

s = \frac{1}{9}, t = \frac{2}{3}

これらを(1)または(2)に戻すと

\vec{B X} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{9} \vec{c}

CR:RA, AX:XQ, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください．
sはPX/PCの比を表すから，CX:XP=8:1…（答）
tはQX/QAの比を表すから，AX:XQ=1:2…（答）

\vec{B X} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{9} \vec{c} = \frac{7}{9} \frac{6 \vec{a} + \vec{c}}{7}

と変形できるから
Xは「CAを6:1に内分する点R」と「B」を2:7に内分する点
CR:RA=6:1…（答）
BX:XR=7:2…（答）

【例題３】
　△ABCにおいて，BCを3:4に内分する点をQ，CAを2:5に内分する点をRとし，AQとBRの交点をXとする．さらに，CXの延長がABと交わる点をPとする．
　このとき，AP:PB, AX:XQ, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください．

（解答）

AP:PB=10:3
AX:XQ=35:6
BX:XR=21:20
CX:XP=26:15

【例題４】
　△ABCにおいて，BCを2:3に内分する点をQ，AQを2:1に内分する点をXとし，BXの延長とCAの交点をR，CXの延長とABの交点をPとする．
　このとき，AP:PB, CR:RA, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください．

（解答）

AP:PB=6:5
CR:RA=5:4
BX:XR=3:2
CX:XP=11:4

【例題５】
　△ABCにおいて，ACを4:3に内分する点をR，BRを5:2に内分する点をXとし，AXの延長とBCの交点をQ，CXの延長とABの交点をPとする．
　このとき，AP:PB, BQ:QC, AX:XQ, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください．

（解答）

AP:PB=14:15
BQ:QC=10:7
AX:XQ=34:15
CX:XP=29:20

【一般に(1)】
　△ABCにおいて，ABをk:lに内分する点をP，CAをm:nに内分する点をRとし，AQとBRの交点をXとする．さらに，AXの延長がBCと交わる点をQとする．
　このとき，BQ:QC, AX:XQ, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください．

（解答）
次の整数比は「最も簡単な」整数比とは限らないので，共通因数があれば割って答えるものとする．

これは「覚えるような公式ではない！」
必要になってから「作る」のが秘訣

BQ:QC=ln:km
AX:XQ=km+ln:lm
BX:XR=l(m+n):km
CX:XP=(k+l)m:ln

各自で確かめるとよいが，ここでは内分点の公式を２段階に使う方法で解説する．
求めるベクトルを

\vec{O X} = \frac{p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}}{p + q + r} = \frac{(p + q) \frac{p \vec{a} + q \vec{b}}{p + q} + r \vec{c}}{(p + q) + r}

とおくと
p:q=l:k…(1)

\vec{O X} = \frac{p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}}{p + q + r} = \frac{(p + r) \frac{p \vec{a} + r \vec{c}}{p + r} + q \vec{b}}{(p + r) + q}

とおくと
p:r=m:n…(2)
(1)(2)から
p:q:r=lm:km:ln…(*)
したがって

\vec{O X} = \frac{l m \vec{a} + k m \vec{b} + l n \vec{c}}{l m + k m + l n}

= \frac{(l m + k m) \frac{l m \vec{a} + k m \vec{b}}{l m + k m} + l n \vec{c}}{(l m + k m) + l n}

により，CX:XP=(k+l)m:ln

\vec{O X} = \frac{(l m + l n) \frac{l m \vec{a} + l n \vec{c}}{l m + l n} + k m \vec{b}}{(l m + l n) + k m}

により，BX:XR=lm+ln:km

\vec{O X} = \frac{(k m + l n) \frac{k m \vec{b} + l n \vec{c}}{k m + l n} + l m \vec{a}}{(k m + l n) + l m}

により，AX:XQ=km+ln:lm
また，BQ:QC=ln:km

【一般に(2)】
　△ABCにおいて，BCをk:lに内分する点をQ，AQをm:nに内分する点をXとし，BXの延長とCAの交点をR，CXの延長とABの交点をPとする．
　このとき，AP:PB, CR:RA, BX:XR, CX:XPをそれぞれ最も簡単な整数比で表してください．

（解答）
次の整数比は「最も簡単な」整数比とは限らないので，共通因数があれば割って答えるものとする．

これは「覚えるような公式ではない！」
必要になってから「作る」のが秘訣

AP:PB=lm:(k+l)n
CR:RA=(k+l)n:km
BX:XR=(k+l)n+km:lm
CX:XP=(k+l)n+lm:km

各自で確かめるとよいが，ここではメネラウスの定理，チェバの定理を使って解説する．
△ABQに直線PCが交わっている図において，メネラウスの定理を適用すると

\frac{A P}{P B} \cdot \frac{k + l}{l} \cdot \frac{n}{m} = 1

\frac{A P}{P B} = \frac{l m}{(k + l) n}

A P : P B = l m : (k + l) n

△ABCにチェバの定理を適用すると

\frac{l m}{(k + l) n} \cdot \frac{k}{l} \cdot \frac{C R}{R A} = 1

\frac{C R}{R A} = \frac{(k + l) n}{k m}

C R : R A = (k + l) n : k m

△ABRに直線PCが交わっている図において，メネラウスの定理を適用すると

\frac{l m}{(k + l) n} \cdot \frac{B X}{X R} \cdot \frac{(k + l) n}{(k + l) n + k m} = 1

\frac{B X}{X R} = \frac{(k + l) n}{l m}

B X : X R = (k + l) n

△APCに直線BRが交わっている図において，メネラウスの定理を適用すると

\frac{l m + (k + l) n}{(k + l) n} \cdot \frac{P X}{X C} \cdot \frac{(k + l) n}{k m} = 1

\frac{P X}{X C} = \frac{k m}{l m + (k + l) n}

P X : X C = k m : l m + (k + l) n

...（携帯版）メニューに戻る

...メニューに戻る

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２直線の交点(３通り)について／18.7.15］

【要点３：直線の交点をベクトルや複素数で求める方法】において、OCベクトルを2/5aベクトルと書かれてますが、3/5aベクトルの間違いかと思われます。ご確認おねがいします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．いかん，いかん，得意の計算間違いでしたので，訂正しました．（こんな調子で，ん十年勤まったとは，どんなゆるい職場？）

■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△【アンケート送信】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

■この頁について，良い所，悪い所，間違いの指摘，その他の感想があれば送信してください．

○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）

質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります