![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数 指数関数対数関数微分不定積分定積分 高次方程式数列漸化式と数学的帰納法 平面ベクトル空間ベクトル確率分布 ※高校数学Bの「ベクトル」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. ↓ベクトルの定義 ↓ベクトルの和 ↓ベクトルの差 ↓2点間のベクトル ↓ベクトルの実数倍 ↓ベクトルの実数倍・和・差 ↓ベクトルの図形への応用-現在地 ↓同(2) ↓同(3) ↓同(4) ↓同(5) ↓同(6) ↓内分点の内分点 ↓同(2) ↓点の存在範囲 ↓同(2) ↓2直線の交点1 ↓2直線の交点2 ↓外心,重心,垂心,内心,オイラー線 ↓ベクトル成分の計算 ↓ベクトルの大きさ ↓ベクトルの内積 ↓ベクトルの内積(成分) ↓ベクトルのなす角 ↓|a|の変形 ↓ベクトルの平行条件,垂直条件 ↓一直線上にある条件 ↓ベクトル方程式(内積) ↓ベクトルの公式一覧 センター試験.ベクトル.三角関数(2013年~) |
2点を結ぶベクトルを与えられたベクトルを使って表す問題では,
「定数倍」で伸ばしたり縮めたりすることも併用しながら,「接ぎ木」の要領で,「分からない=求めたい道」を「分かっている道を通る迂回路に置き換える」とよい.
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【例】 図1において→OA=→a , →OB=→bとするとき,次の各ベクトルを→a , →bで表すには (1)→AB
分かっている道,すなわち赤色で示された道を通ってAからBへ行くには,A→O→Bと進むとよいから,
(2)→OC○まず,→AOと進む:これは→aの逆向きだから −→a ○次に,→OBと進む:これは→bに等しい. 以上を「接ぎ木」の要領で足すと, →AB=−→a +→b
(1)の問題で→ABも分かっている道,すなわち赤色になるので,分かっている道を通ってOからCへ進むには ○まず,→OAと進む:これは→aに等しい. ○次に,→ABが分かっているから,これを ![]()
→AC= ![]()
以上を「接ぎ木」の要領で足すと,
→OC=→a +
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図1
![]() ※2点を結ぶベクトルについては(終点の位置ベクトル)-(始点の位置ベクトル) →b −→a と覚える立場もありますが,これは頭の中の別の引き出しに入るはずだから,数学が不得意な人は1つの原理(接ぎ木の要領でう回路をつないでいく)に絞る方が確実にできると考えられます. ※同様にして,ベクトルの和を平行四辺形の対角線として覚える方法もありますが,1つの原理(接ぎ木の要領でう回路をつないでいく)で押し通して,三角形の2辺で考えるとよい. ※同様にして,2点の中点の位置ベクトルを ![]()
と覚える立場もありますが,左の解説のようにやれば幾つもの異なる原理を使い分けなくてもできます.
【要点】
○ 分かっている道をたどって「接ぎ木の要領で迂回路に置き換える」 ○ 大きさと向きが同じなら「どこに書いてあっても」同じベクトル |
問題1図2においてABCDは平行四辺形で,Oは対角線AC,BDの交点とする.→BA=→a , →BC=→bとするとき,次の各ベクトルを→a , →bで表してください.
図2 ![]() (1)→CD解説 CD//BA, CD=BAでCDはBAと同じ向きだから,→CD=→BA=→a (2)→CA解説 分かっている(赤で示された)道を通ってCからAに行くには ○ まず,CからBに行く:→CB=−→b ○ 次に,BからAに行く:→BA=→a 以上を接ぎ木の要領で足すと,→CA=→CB+→BA=−→b +→a (このままの形でもよいが,必要に応じて→a −→bの形に変形してもよい.) |
(3)→BD解説 分かっている(赤で示された)道を通ってBからDに行くには ○ まず,BからAに行く:→BA=→a ○ 次に,AからDに行く:→AD=→BC=→b 以上を接ぎ木の要領で足すと,→BD=→BA+→AD=→a +→b (4)→AO解説 分かっている(赤で示された)道を通ってAからOに行くには ○ →AO= ![]() ○ →AC=→AB+→BC=−→a +→b したがって,→AO= ![]() ![]() |
問題2図3においてABCDは平行四辺形で,Oは対角線AC,BDの交点とする.→DA=→a , →AB=→bとするとき,次の各ベクトルを→a , →bで表してください.
図3 ![]() (1)→AC解説 分かっている(赤で示された)道を通ってAからCに行くには ○ まず,AからBに行く:→AB=→b ○ 次に,BからCに行く:→BC=→AD=−→a 以上を接ぎ木の要領で足すと,→AC=→AB+→BC=→b +(−→a )=→b −→a |
(2)→BD解説 分かっている(赤で示された)道を通ってBからDに行くには ○ まず,BからAに行く:→BA=−→b ○ 次に,AからDに行く:→AD=−→a 以上を接ぎ木の要領で足すと,→BD=→BA+→AD=−→b +(−→a )=−→a −→b (3)→CO解説 ○ →CO= ![]() ○ →CA=→CB+→BA=→a −→b したがって,→CO= ![]() ![]() |
問題3図4においてABCDEFは正六角形です.→AB=→a , →AF=→bとするとき,次の各ベクトルを→a , →bで表してください.
図4 ![]() (1)→CD解説
→a
2→a
−→a
→b
2→b
−→b
→CD=→AFだから
→CD=→b
→a +→b −→a −→b →a −→b →b −→a 2→a +→b →a +2→b 2→a +2→b 2→a −→b −→a +2→b −2→a −→b −→a −2→b (2)→DE解説
→a
2→a
−→a
→b
2→b
−→b
→DE=−→ABだから
→DE=−→a
→a +→b −→a −→b →a −→b →b −→a 2→a +→b →a +2→b 2→a +2→b 2→a −→b −→a +2→b −2→a −→b −→a −2→b |
(3)→BC解説
→a
2→a
−→a
→b
2→b
−→b
→BC=→BO+→OC=→AF+→ABだから
→BC=→b +→a
→a +→b −→a −→b →a −→b →b −→a 2→a +→b →a +2→b 2→a +2→b 2→a −→b −→a +2→b −2→a −→b −→a −2→b (4)→CE解説
→a
2→a
−→a
→b
2→b
−→b
→a +→b −→a −→b →a −→b →b −→a 2→a +→b →a +2→b 2→a +2→b 2→a −→b −→a +2→b −2→a −→b −→a −2→b →CE=→CD+→DE=→AF+(−→AB)だから →CE=→b −→a (5)→DF解説
→a
2→a
−→a
→b
2→b
−→b
→a +→b −→a −→b →a −→b →b −→a 2→a +→b →a +2→b 2→a +2→b 2→a −→b −→a +2→b −2→a −→b −→a −2→b →DF=→DE+→EF ここで →DE=−→a また(3)の結果から→EF=−→BC=−→a −→b したがって→DF=(−→a )+(−→a −→b )=−2→a −→b 別解:→DF=→DC+→CF=−→b −2→a |
問題4図5においてABCDEFは正六角形です.→AB=→a , →BC=→bとするとき,次の各ベクトルを→a , →bで表してください.
図4 ![]() (1)→AF解説
→a +→b
→a +2→b
→a −→b
→a −2→b
→AF=→AO+→OFだから
→AF=→b −→a
2→a +→b 2→b +2→a 2→a −→b 2→a −2→b −→a +→b −→a +2→b −→a −→b −→a −2→b −2→a +→b −2→a +2→b −2→a −→b −2→a −2→b |
(2)→EB解説
→a +→b
→a +2→b
→a −→b
→a −2→b
2→a +→b 2→b +2→a 2→a −→b 2→a −2→b −→a +→b −→a +2→b −→a −→b −→a −2→b −2→a +→b −2→a +2→b −2→a −→b −2→a −2→b →EB=→ED+→DA+→ABだから →EB=→a +(−2→b )+→a =2→a −2→b |
(3)→EC解説
→a +→b
→a +2→b
→a −→b
→a −2→b
2→a +→b 2→b +2→a 2→a −→b 2→a −2→b −→a +→b −→a +2→b −→a −→b −→a −2→b −2→a +→b −2→a +2→b −2→a −→b −2→a −2→b →EC=→EF+→FCだから →EC=−→b +2→a |
(4)→EA解説
→a +→b
→a +2→b
→a −→b
→a −2→b
2→a +→b 2→b +2→a 2→a −→b 2→a −2→b −→a +→b −→a +2→b −→a −→b −→a −2→b −2→a +→b −2→a +2→b −2→a −→b −2→a −2→b →EA=→ED+→DAだから →EA=→a −2→b |
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