ベクトル内積（成分）

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Bの「ベクトル」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓ベクトルの定義
↓ベクトルの和
↓ベクトルの差
↓2点間のベクトル
↓ベクトルの実数倍
↓ベクトルの実数倍･和･差

↓ベクトルの図形への応用
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓同(5)
↓同(6)

↓内分点の内分点
↓同(2)

↓点の存在範囲
↓同(2)

↓２直線の交点1
↓２直線の交点2
↓外心,重心,垂心,内心,オイラー線

↓ベクトル成分の計算
↓ベクトルの大きさ

↓ベクトルの内積
↓ベクトルの内積（成分）-現在地
↓ベクトルのなす角
↓|a|の変形

↓ベクトルの平行条件,垂直条件
↓一直線上にある条件

↓ベクトル方程式（内積）
↓ベクトルの公式一覧

センター試験.ベクトル.三角関数(2013年～)

== ベクトル内積（成分） ==

≪要点≫
２つのベクトルが成分で表されているとき

=(x1 , y1 ) ,

=(x2 , y2 )　の内積は

=x1x2+y1 y2

【例1】

=(1 , 2 ) ,

=(3 , 4 )　の内積は

=1 · 3+2 · 4=11

【例2】

=(3 , 4 ) ,

=(−5 , 7 )　の内積は

=3 · (−5)+4 · 7=13

【例3】

=(2 , −1 ) ,

=(−3 , 0 )　の内積は

=2 · (−3)+(−1) · 0=−6

※ベクトルは２次元ですが、ベクトルの内積は単なる数になります。
　３次元以上のベクトルでも同様にして、次のように成分x1, x2, …が与えられているとき、

x1	x2	x3	x4	…
2	-3	1	5	…
4	-2	6	0	…

２つのベクトルの内積は、2×4+(-3)×(-2)+1×6+5×0+…と定義されます。　⇒　積の和になります。
Excelのワークシート関数では = SumProduct(行1,行2) または= SumProduct(列1,列2)で内積が求められます。

※内積の計算に当たって「掛ける相手を間違わないこと」が重要。（ｘ成分とｘ成分の積+ｙ成分とｙ成分の積とします）

※ベクトルの内積は

のように「ドット」で表すものとし、

のように書いてはいけません。（×は「外積」と呼ばれる別のものを表します。）

（参考）
矢印で表されるベクトルについての内積の定義

\vec{a} \cdot \vec{b} =∣ \vec{a} ∣ \cdot ∣ \vec{b} ∣ \cos θ

から，成分で表されるベクトル

\vec{a} = (x_{1}, y_{1}), \vec{b} = (x_{2}, y_{2})

の内積の定義

\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

を導く方法

ベクトルの内積については，次の分配法則が成り立ちます．これ自体は証明する必要がありますが，ここではこの結果を使って示す．

(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}

\vec{a} \cdot (\vec{c} + \vec{d}) = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{d}

ｘ軸の正の向きで大きさ１の基本ベクトル

\vec{e} = (1, 0)

とｙ軸の正の向きで大きさ１の基本ベクトル

\vec{f} = (0, 1)

を用いて，ベクトル

\vec{a} = (x_{1}, y_{1}), \vec{b} = (x_{2}, y_{2})

は各々次のように表されます．

\vec{a} = x_{1} \vec{e} + y_{1} \vec{f}

\vec{b} = x_{2} \vec{e} + y_{2} \vec{f}

そこで，上に示した分配法則により

\vec{a} \cdot \vec{b} = (x_{1} \vec{e} + y_{1} \vec{f}) \cdot (x_{2} \vec{e} + y_{2} \vec{f})

= x_{1} x_{2} \vec{e} \cdot \vec{e} + x_{1} y_{2} \vec{e} \cdot \vec{f} + y_{1} x_{2} \vec{e} \cdot \vec{f} + y_{1} y_{2} \vec{f} \cdot \vec{f}

ところで基本ベクトル

\vec{e}, \vec{f}

の内積については，次の関係があります．

\vec{e} \cdot \vec{e} = 1 \times 1 \times \cos 0^{\circ} = 1

\vec{f} \cdot \vec{f} = 1 \times 1 \times \cos 0^{\circ} = 1

\vec{e} \cdot \vec{f} = 1 \times 1 \times \cos 90^{\circ} = 0

（同じものとの内積は1，異なるものとの内積は0になる）

したがって，

\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

《問題》　各々正しいものを選択肢から選んでください．

(1)

\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, - 3)

のとき，内積

\vec{a} \cdot \vec{b}

の値を求めてください．解説

−6 −4 −2 0 2 4

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times (- 3) = 2 - 6 = - 4

→解説を隠す←

(2)

\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 1, 3)

のとき，内積

\vec{a} \cdot \vec{b}

の値を求めてください．解説

−5 −3 −1 1 3 5

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times (- 1) + 2 \times 3 = - 1 + 6 = 5

→解説を隠す←

(3)

\vec{c} = (2, 3), \vec{d} = (- 5, 4)

のとき，内積

\vec{c} \cdot \vec{d}

の値を求めてください．解説

−6 −4 −2 0 2 4

\vec{c} \cdot \vec{d} = 2 \times (- 5) + 3 \times 4 = - 10 + 12 = 2

→解説を隠す←

(4)

\vec{p} = (2, - 3), \vec{q} = (4, 0)

のとき，内積

\vec{p} \cdot \vec{q}

の値を求めてください．解説

−2 0 2 4 6 8

\vec{p} \cdot \vec{q} = 2 \times 4 + (- 3) \times 0 = 8 + 0 = 8

→解説を隠す←

(5)

\vec{s} = (1, \sqrt{3}), \vec{t} = (- \sqrt{3}, 1)

のとき，内積

\vec{s} \cdot \vec{t}

の値を求めてください．解説

−3 0 3

\sqrt{3}

2 \sqrt{3}

\vec{s} \cdot \vec{t} = 1 \times (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \times 1 = - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 0

→解説を隠す←

(6)

\vec{a} = (1, \sqrt{2}), \vec{b} = (2, \sqrt{2})

のとき，内積

\vec{a} \cdot \vec{b}

の値を求めてください．解説

0 2 4

\sqrt{2}

2 \sqrt{2}

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 + 2 = 4

→解説を隠す←

(7)

\vec{c} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}), \vec{d} = (- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})

のとき，内積

\vec{c} \cdot \vec{d}

の値を求めてください．解説

−2 −1 0

\sqrt{2}

2 \sqrt{2}

\vec{c} \cdot \vec{d} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{\sqrt{2}}{2} \times (- \frac{\sqrt{2}}{2})

= - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = - 1

→解説を隠す←

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトル内積（成分）について／18.8.2］

丁寧な説明をありがとうございます。（参考）で、「ところで基本ベクトル→eと→bの内積については」になっています。皆さん自然に読み直すと思いますが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトル内積（成分）について／18.7.24］

a→とb→の内積は公式より|a||b| cosθではないんですか？a→とb→の内積を求めるとき上の式だとa→・b→=a→×b→のようになっているのですが正しいのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう． $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos\theta$ はそこに書いた通りです．それを質問してどうなる？「上の式だと」とはどの式のことですか？外積とは違うと書いてありますが，しっかり読みましたか？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトル内積（成分）について／17.8.8］

内積の定義を導く方法の最後の答えが間違ってます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに！ただの計算間違いと違って，こんな大事な公式を写し間違ってどうする．筆者も気合を入れないと！

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトル内積について／16.9.24］

エーベクトル➕ビーベクトル＝エービーベクトルになるんですか？？？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問の意味が通じません．
　この頁は，成分で表されたべクトルの内積の求め方を扱っています．もしベクトルの和差のことを聞いておられるのなら，先頭のサブメニューに従ってベクトルの和差の頁を見てください．
　 $A(\vec{a}),\hspace{10}B(\vec{b})$ のとき， $\vec{A} + \vec{B}=\vec{AB}$ ですかと尋ねておられるのなら，高校では大文字１文字は点を表すときに用いるので，左辺のような記号は使いません．
　 $A(\vec{a}),\hspace{10}B(\vec{b})$ のとき， $\vec{a} + \vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{b}$ ですかと尋ねておられるのなら，ベクトルの和と内積は別のものです．
　 $A(\vec{a}),\hspace{10}B(\vec{b})$ のとき， $\vec{a} + \vec{b}=\vec{AB}$ ですかと尋ねておられるのなら，そうではありません．
　 $A(\vec{a}),\hspace{10}B(\vec{b})$ のとき， $\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}$ になります．

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質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります