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※高校数学Bの「ベクトル」について，このサイトには次の教材があります．
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↓ベクトルの定義
↓ベクトルの和
↓ベクトルの差
↓2点間のベクトル
↓ベクトルの実数倍
↓ベクトルの実数倍･和･差
↓ベクトルの図形への応用
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓同(5)
↓同(6)-現在地
↓内分点の内分点
↓同(2)
↓点の存在範囲
↓同(2)
↓２直線の交点1
↓２直線の交点2
↓外心,重心,垂心,内心,オイラー線
↓ベクトル成分の計算
↓ベクトルの大きさ
↓ベクトルの内積
↓ベクトルの内積（成分）
↓ベクトルのなす角
↓|a|の変形
↓ベクトルの平行条件,垂直条件
↓一直線上にある条件
↓ベクトル方程式（内積）
↓ベクトルの公式一覧
センター試験.ベクトル.三角関数(2013年～)

== 位置ベクトルの応用 ==

◇公式の要約◇
２点 A( →aw) , B( →bw) を結ぶベクトル →AB は，→AB = →bw−→aw

○補足説明

　記号　A( →aw)　は，関数の記号 f(x) とは無関係。
平面の座標を表わすときに，「点 A，その座標を (3 , 4) とおく」というのを A(3 , 4) と書くのと同様にして，
「点A，その位置ベクトルを →aw とおく」というのを単に，点 A( →aw) と書く。

【注意】　 →AB = →aw−→bw ではない！
２点 A( →aw) , B( →bw) の中点 M の位置ベクトル →mw は，
→mw = .→aw+→bw2nnnn

○補足説明

２点 A( →aw) , B( →bw) を結ぶ線分 AB m : n に内分する点 P の位置ベクトル →pw は，
→pw=.n→aw+m→bwm+nnnnnnn

○補足説明

△ABC の頂点 A,B,C の位置ベクトルを各々 →aw ，→bw，→cw とすると，△ABC の重心 G の位置ベクトルは，
→gw = .→aw+→bw+→cw3nnnnnn

○補足説明



■　問題　次の空欄を埋めなさい。
（半角数字［１バイト文字］で答えてください）
(1)　△ABC の線分 AB,BC,CA の中点を各々 L,M,N とする。△ABC の重心 G と△LMN の重心 G ’ は一致することを証明しなさい。
(証明)
A,B,C の位置ベクトルを各々 →aw ，→bw，→cw とおくと，重心 G の位置ベクトルは，

→gw = .→aw+→bw+→cwnnnnnn ・・・(ア)

L,M,N の位置ベクトルは各々

.→aw+→bwnnnn , .→bw+→cwnnnn , .→cw+→awnnnn
だから，

重心 G ’の位置ベクトルは，


→g’w =..→aw+→bw2nnnn+.→bw+→cw2nnnn+.→cw+→aw2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn= .→aw+→bw+→cwnnnnnn ・・・(イ)

(ア)(イ)より G , G’ の位置ベクトルが等しいから G , G’ は一致する。

(2)　△ABC 頂点 A,B,C の位置ベクトルを各々 →aw , →bw , →cw とするとき，右の空欄を埋めなさい。
線分 AB を２：１に内分する点を P，線分 CA の中点を Q とするとき，P , Q の位置ベクトル →pw , →qw を，→aw , →bw , →cwで表わすと

 →pw=.→aw+2→bwnnnnn , →qw= .→cw+→awnnnn

→PQ を →aw ，→bw，→cw で表わすと，

 →PQ=→qw−→pw=.→aw−4→bw+3→cwnnnnnnnnn

(3)　△ABC と点 P について

→PA+2→PB+3→PC=2→AB

が成り立っているとき，点 P はどのような点か。
A , B , C , P の位置ベクトルを各々 →aw ，→bw，→cw，→pw とおくと，
( →aw−→pw) + 2(→bw−→pw) + 3( →cw −→pw ) = 2( →bw −→aw ) より，
→aw + 2→bw + 3 →cw− →pw = 2→bw−2→aw
→pw = .→aw+→cwnnnn となるから，P は AC の。

(4)　△ABCと点 P について

 2→PA+ 3→PB+ 4→PC= →0w

が成り立っているとき，点 P はどのような点か。
A,B,C,P の位置ベクトルを各々 →aw ，→bw，→cw，→pw とおく。
 2(→aw−→pw )+ 3( →bw−→pw )+ 4( →cw−→pw )= →0w より，

→pw =.2→aw+3→bw+4→cw9nnnnnnnnn


→pw =.5(.2→aw+3→bw5nnnnn)+4→cw9nnnnnnnnnnn と変形すると，

線分 AB を ： に内分する点を D とするとき，
線分 DC を ： に内分する点が P となる。


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