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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Bの「ベクトル」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓ベクトルの定義
↓ベクトルの和
↓ベクトルの差
↓2点間のベクトル
↓ベクトルの実数倍
↓ベクトルの実数倍･和･差
↓ベクトルの図形への応用
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓同(5)
↓同(6)
↓内分点の内分点
↓同(2)
↓点の存在範囲
↓同(2)
↓２直線の交点1
↓２直線の交点2
↓外心,重心,垂心,内心,オイラー線
↓ベクトル成分の計算
↓ベクトルの大きさ
↓ベクトルの内積
↓ベクトルの内積（成分）
↓ベクトルのなす角-現在地
↓|a|の変形
↓ベクトルの平行条件,垂直条件
↓一直線上にある条件
↓ベクトル方程式（内積）
↓ベクトルの公式一覧
センター試験.ベクトル.三角関数(2013年～)

【要約】
２つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$の成分が$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)$のように与えられているとき，内積の定義
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$
において，
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$
$|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\cdot \sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}$
のように求めることができるから，これらを使って
$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}}$…(1)
のように角θの余弦を計算することができる．

○さらに，次の角度については筆算の場合でも，cos θの値から角θが求まる．

θ	0	${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$	${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$	${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$	${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$	${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$	${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$	${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$	π
cos θ	1	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	0	$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$	$-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$	$-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	−1

○通常の場合，これ以外の角度については，コンピュータや三角関数表によらなければ角θの値は求められない．

この角度は「結果を覚えているから答えられる」のであって，次の例のように結果を覚えていない角度については，このようには答えられない．

そもそも，ベクトルの成分と角θをつなぐ公式(1)は
$\theta ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}}$
ではなく
$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}}$
の形をしており，cosθの値までしか求まらない．

【例題1】
$\overrightarrow{a}=(\sqrt{3},1),\overrightarrow{b}=(0,2)$のとき２つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$のなす角θを求めなさい。（度で答えよ）

【例題2】
${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1,2),\overrightarrow{b}=(-1,3)}$のとき２つのベクトル${\displaystyle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}$のなす角θを求めなさい。（度で答えよ）

【例題3】
${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1,1),\overrightarrow{b}=(1,2)}$のとき，２つのベクトル${\displaystyle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}$のなす角をθとするとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．

正しいと思う選択肢をクリック（タップ）すれば，採点結果と解説が出ます．解答しなければ解説は出ません．

(1)　２つのベクトル${\displaystyle \overrightarrow{a}=(2,1),\overrightarrow{b}=(2,6)}$のなす角を求めてください．（答は度で）解説
0° 30° 45° 60° 90° 120°

${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\times 2+1\times 6=10}$
${\displaystyle |\overrightarrow{a}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}}$，${\displaystyle |\overrightarrow{b}|=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}}$だから
${\displaystyle \cos \theta =\frac{10}{\sqrt{5}\times 2\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}}$
θ=45°…（答） →解説を隠す←

(2)　２つのベクトル${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1,0),\overrightarrow{b}=(1,\sqrt{3})}$のなす角を求めてください．（答は度で）解説
0° 30° 45° 60° 90° 120°

${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1\times 1+0\times \sqrt{3}=1}$
${\displaystyle |\overrightarrow{a}|=\sqrt{1^2+0^2}=1}$，${\displaystyle |\overrightarrow{b}|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}=2}$だから
${\displaystyle \cos \theta =\frac{1}{2}}$
θ=60°…（答） →解説を隠す←

(3)　２つのベクトル${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1,-3),\overrightarrow{b}=(1,2)}$のなす角を求めてください．（答は度で）解説
45° 60° 90° 120° 135° 150°

${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1\times 1+(-3)\times 2=-5}$
${\displaystyle |\overrightarrow{a}|=\sqrt{1^2+(-3{)}^2}=\sqrt{10}}$，${\displaystyle |\overrightarrow{b}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}}$だから
${\displaystyle \cos \theta =\frac{-5}{\sqrt{10}\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}}$
θ=135°…（答） →解説を隠す←

(4)　２つのベクトル${\displaystyle \overrightarrow{a}=(2,-1),\overrightarrow{b}=(2,4)}$のなす角を求めてください．（答は度で）解説
45° 60° 90° 120° 135° 150°

${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\times 2+(-1)\times 4=0}$
だから
θ=90°…（答） →解説を隠す←

(5)　２つのベクトル${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1,3),\overrightarrow{b}=(3,1)}$のなす角をθとするとき，cosθの値を求めてください．解説
${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ ${\displaystyle \frac{4}{5}}$

${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1\times 3+3\times 1=6}$
${\displaystyle |\overrightarrow{a}|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}}$，${\displaystyle |\overrightarrow{b}|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}}$だから
${\displaystyle \cos \theta =\frac{6}{\sqrt{10}\sqrt{10}}=\frac{3}{5}}$…（答）
（※この問題では，角度までは求まりませんが，cosθの値は求められます） →解説を隠す←

【ベクトルの垂直条件】…（直交条件）
${\displaystyle \overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}}$のとき，
${\displaystyle \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}⟺\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0}$

※垂直(直角，90°)は１つの角度に過ぎませんが，実際に出会う問題は垂直条件(直交条件)を求めるものの方が多いので，この公式は重要

（参考）
大学では，内積が０になる場合は${\displaystyle \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}}$の場合も含めて，「垂直」「直交」と定義しますが，
高校では零ベクトル$\overrightarrow{0}$の向きは考えないことになっていますので，「２つのベクトルが垂直である」というためには
$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}⟺\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$
だけでなく
$\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$
も示すことになっています．
ただし，$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$として(0 , 0)以外の定数の成分が与えられているとき，それが零ベクトルでないことは自明ですので，「$\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$」の断り書きは省略できます．

【例題4】
$\overrightarrow{a}=(1,2),\overrightarrow{b}=(t,1)$のとき$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$が垂直となるように定数tの値を定めなさい．

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=t+2=0$よりt=−2…(答)

(1)　２つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,3),\overrightarrow{b}=(x,4)$が直交するように定数xの値を定めてください．解説
−6 −3 −2 2 3 6

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2x+12=0$
より
x=−6…（答） →解説を隠す←

(2)　２つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,2),\overrightarrow{b}=(2,x)$について，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$が直交するように定数xの値を定めてください．解説
−1 −2 −3 ±1 ±2 ±3

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(3,2+x),\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(-1,2-x)$
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-3+4-x^2=0$
より
x=±1…（答） →解説を隠す←

図形など図があればもっといいと思う
＝＞［作者］：連絡ありがとう．現在筆者は次のように整理しています．
(1) 高校数学で習うベクトルには，図形で表される「矢印ベクトル」と成分で表示される「成分ベクトル」とがあります．ベクトルのなす角というのは図形的な意味ですが，実際には成分計算だけでできることに慣れるというのが第１の目標です．
(2) ３次元，４次元，５次元･･･今日では中学生でも多次元のデータを扱っていますが，そう言わないだけです．

生徒名	x（国語）	y（数学）	z（英語）
a	2	3	2
b	5	2	3
c	3	1	4
d	3	5	2
e	･･･	･･･	･･･
f	4	4	5

左の表で生徒ごとの３教科の得点傾向が似ているかどうかを判断するには，行ベクトルなどの個人ごとの「３次元ベクトルのなす角」が小さいかどうかで見るのが１つの方法です．また，教科ごとの得点傾向が似ているかどうかを判断するには，列ごとに見たベクトルなどの「６次元ベクトルのなす角」が小さいかどうかになります（左の表で６次元というのは縦に６個の数字が並んでいるから：６人だから）.
このようにして，実生活で扱うデータのほとんどは多次元ベクトルに対応しており，図を使わずに大きな数値の表だけを見て「ベクトルのなす角」という夢を見る能力が必要となります．（この頁参照）
(3) ご質問の頁は２次元ベクトルを扱っていますので，図を描こうと思えば描けますが，図があっても問題が解けるわけではありません．次のような意味合いで，１つや２つは図があってもよいとは思います．
　3.1) 答が２つあって迷うような場合とか，方程式で求めた値に対して実際には図が描けないような場合に，図で検証することができる．
　3.2) 文字ばかりの教材では暑苦しいが，ワンポイントの図があればリラックスでき，結果的に学習が進む．