ベクトルの大きさ

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Bの「ベクトル」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓ベクトルの定義
↓ベクトルの和
↓ベクトルの差
↓2点間のベクトル
↓ベクトルの実数倍
↓ベクトルの実数倍･和･差

↓ベクトルの図形への応用
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓同(5)
↓同(6)

↓内分点の内分点
↓同(2)

↓点の存在範囲
↓同(2)

↓２直線の交点1
↓２直線の交点2
↓外心,重心,垂心,内心,オイラー線

↓ベクトル成分の計算
↓ベクトルの大きさ-現在地

↓ベクトルの内積
↓ベクトルの内積（成分）
↓ベクトルのなす角
↓|a|の変形

↓ベクトルの平行条件,垂直条件
↓一直線上にある条件

↓ベクトル方程式（内積）
↓ベクトルの公式一覧

センター試験.ベクトル.三角関数(2013年～)

== ベクトルの大きさ（長さ）==

ベクトルの大きさとは……

〇ベクトルは大きさと向きをもつ量です。これに対してベクトルの大きさ（長さ）は単なる１つの数です。
〇ベクトル

\vec{a}

の大きさ(長さ)は，絶対値記号を用いて

∣ \vec{a} ∣

で表します。

〇ベクトル

\vec{a}

の成分が

(a_{1}, a_{2})

のとき，図のように三平方の定理を用いて計算すると，

∣ \vec{a} ∣= \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

になります。
〇ベクトルの大きさは，ベクトルの始点から終点までの２点間の距離と同じです．

【例１】
　ベクトル

\vec{a} = (4, 3)

の大きさを求めてください．

（解答）
右図のように横の長さが4，縦の長さが3の直角三角形の斜辺の長さになるから

∣ \vec{a} ∣= \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5

…（答）

【例２】
　ベクトル

\vec{b} = (2, - 2)

の大きさを求めてください．

（解答）
右図のように横の長さが2，縦の長さが2（ｙ座標が-2のとき長さとしては2）の直角三角形になる．
公式を使って計算するときは，負の値でも２乗すると正になるから，気にせずそのまま計算したらよい．

∣ \vec{b} ∣= \sqrt{2^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}

…（答）

〇２点

A (a_{1}, a_{2}), B (b_{1}, b_{2})

を結ぶベクトル

\vec{A B}

の成分は，

\vec{A B} = (b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2})

だから

∣ \vec{A B} ∣= \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2}}

になります．これは２点間の距離

A B = \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2}}

と同じです．

※ベクトルに絶対値も付けたら

∣ \vec{A B} ∣

，何も着てない裸の王様

A B

と同じ

【例３】
　２点

A (2, - 1), B (3, 2)

を結ぶベクトル

\vec{A B}

の大きさを求めてください．

（解答）

\vec{A B} = (3 - 2, 2 - (- 1)) = (1, 3)

だから

∣ \vec{A B} ∣= \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}

…（答）

単位ベクトルとは……

〇例えば，大きさが３のベクトルを３で割ると，大きさが１のベクトルになります(向きは変わりません)。大きさが５のベクトルを５で割ると大きさ１のベクトルになります(向きは変わりません)。

〇一般に，ベクトル

\vec{a}

をその大きさ

∣ \vec{a} ∣

で割ったもの

\frac{\vec{a}}{∣ \vec{a} ∣}

は，

\vec{a}

と同じ向きで大きさ１のベクトルになります。
大きさ１のベクトルを単位ベクトルといいます。

※注意　高校には，ベクトルの割り算というものはありません。

\frac{\vec{a}}{∣ \vec{a} ∣}

は，ベクトルで割っているのでなく，記号

∣ \vec{a} ∣

は単なる数字なので，数字で割ることを表しています。数字で割ることは「ベクトルの実数倍」(大きさだけ変えて向きを変えない)で定義されています。

※向きをいろいろと考えると，大きさ1のベクトル：単位ベクトルは無数にあります。
※これに対して，ｘ軸，ｙ軸の正の向きの単位ベクトルは特に基本ベクトルと呼ばれます。基本ベクトルは，１つずつしかありません。

【例４】
　ベクトル

\vec{a} = (3, 4)

と同じ向きの単位ベクトルを求めてください．

（解答）

| \vec{a} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5

だから

\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |} = \frac{\vec{a}}{5} = \frac{1}{5} (3, 4) = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})

…（答）
（参考）
ベクトル

\vec{a}

と「方向」が同じでも「向き」が逆のベクトルは，

(- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5})

になります．
同一直線上にあれば「方向」が同じになりますが，あちら向きとこちら向きの違いがあります．このように「向き」が同じという指定は，「方向」が同じというよりも強い指定になります．

［要約］
〇

\vec{a} = (a_{1}, a_{2})

のとき，

∣ \vec{a} ∣= \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

〇２点

A (a_{1}, a_{2}), B (b_{1}, b_{2})

を結ぶベクトル

\vec{A B}

については，

\vec{A B} = (b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2})

∣ \vec{A B} ∣= \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2}}

〇

\vec{a}

と同じ向きの単位ベクトルは，

\frac{\vec{a}}{∣ \vec{a} ∣}

それぞれの問題に対応する答を下の選択肢から選びなさい。

選択肢のうちの１つをクリックすれば，採点結果と解説が出ます．解答しなければ，解説は出ません．途中の計算は，計算用紙などで行ってください．

【問題1】
(1)

A (- 1, 1), B (2, - 2)

のとき，

\vec{A B}

を求めよ．

解説やり直す

(−3, 3) (3, −3) (1, −1) (−1, 1)

ｘ成分，ｙ成分のそれぞれについて，(終点)−(始点)を計算します．

\vec{A B} = (2 - (- 1), - 2 - 1) = (3, - 3)

…（答）

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(2)

P (3, 0), Q (0, 3)

のとき，

\vec{P Q}

を求めよ．

解説やり直す

(−3, 3) (3, −3) (−3, −3) (3, 3)

ｘ成分，ｙ成分のそれぞれについて，(終点)−(始点)を計算します．

\vec{P Q} = (0 - 3), 3 - 0) = (- 3, 3)

…（答）

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【問題2】
(1)

\vec{a} = (- 2, 3)

のとき，

∣ \vec{a} ∣

を求めよ．

解説やり直す

- 1

5

2 \sqrt{2}

\sqrt{13}

\vec{a} = (a_{1}, a_{2})

のとき，

∣ \vec{a} ∣= \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

を求めます．

∣ \vec{a} ∣= \sqrt{(- 2)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}

…（答）

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(2)

\vec{b} = (- 3, 4)

のとき，

∣ \vec{b} ∣

を求めよ．

解説やり直す

1

5

2 \sqrt{2}

\sqrt{13}

\vec{b} = (b_{1}, b_{2})

のとき，

∣ \vec{b} ∣= \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}

を求めます．

∣ \vec{b} ∣= \sqrt{(- 3)^{2} + 4^{2}} = 5

…（答）

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(3)

A (3, 4), B (5, 6)

のとき，

∣ \vec{A B} ∣

を求めよ．

解説やり直す

1

5

2 \sqrt{2}

\sqrt{13}

A (a_{1}, a_{2}), B (b_{1}, b_{2})

に対して，

∣ \vec{A B} ∣= \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2}}

を求めます．

∣ \vec{A B} ∣= \sqrt{(5 - 3)^{2} + (6 - 4)^{2}} = \sqrt{4 + 4}

= \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}

…（答）

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(4)

A (- 1, 1), B (1, 2)

のとき，

∣ \vec{A B} ∣

を求めよ．

解説やり直す

5

\sqrt{5}

2 \sqrt{2}

\sqrt{13}

A (a_{1}, a_{2}), B (b_{1}, b_{2})

に対して，

∣ \vec{A B} ∣= \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2}}

を求めます．

∣ \vec{A B} ∣ = \sqrt{(1 - (- 1))^{2} + (2 - 1)^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}

…（答）

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【問題3】
(1)

\vec{a} = (1, 1)

と同じ向きの単位ベクトルを求めよ．

解説やり直す

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})

(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})

(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})

初めに

∣ \vec{a} ∣

を計算し，次に各成分をその数字で割ります．

∣ \vec{a} ∣= \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}

\frac{\vec{a}}{∣ \vec{a} ∣} = \frac{(1, 1)}{\sqrt{2}} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})

…（答）

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(2)

\vec{b} = (- 1, 1)

と逆向きの単位ベクトルを求めよ．

解説やり直す

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})

(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})

(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})

初めに

∣ \vec{b} ∣

を計算し，次に各成分をその数字で割り，さらに符号を変えます．

∣ \vec{b} ∣= \sqrt{(- 1)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}

\frac{\vec{b}}{∣ \vec{b} ∣} = \frac{(- 1, 1)}{\sqrt{2}} = (- \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})

の符号を変えると

- \frac{\vec{b}}{∣ \vec{b} ∣} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})

…（答）

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