高校数学 >> 高校数学Ⅲ>> 定積分

■定積分と不定積分の関係
∫wnf(x)dx=F(x)+C
のとき
b∫awwwf(x)dx=[nF(x)=F(b)−F(a)

⇒ 定積分の計算では，原始関数の内でC=0の場合を使う

■1. 多項式，分数関数，無理関数
○αが実数で，−1以外のとき
∫wnxαdx=.xα+1α+1nnn+C…(1.1)
∫wn(ax+b)αdx=.(ax+b)α+1(α+1)annnnnnnn+C (a≠0)…(1.2)
○α=−1のとき
∫wnx−1dx=log|x|+C…(1.3)
∫wn(ax+b)−1dx=.1anlog|ax+b|+C (a≠0)…(1.4)

※正しい選択肢の番号をクリックしてください．
　なお，暗算ではできませんので，別途計算用紙と筆記用具が必要です．

【問題１】
.2∫1www.x2−3x+2xnnnnnnndx
1.12n 2.16n
3−.32n+2log2 4−.52n+2log2
HELP解答

.2∫1www.x2−3x+2xnnnnnnndx=2∫1www(x−3+.2xn)dx
と変形し，項別に積分します．
=[n.x22nn−3x+2log|x|

=(2−6+2log2)−(.12n−3+0)=−.32n+2log2 → 3

【問題２】
.1∫0www .3√x√ni(.√x√ni+1)dx
1.2411nn 2.4528nn 3.5744nn 4.6855nn
HELP解答

被積分関数を，次のように有理指数（分数の指数）で簡単にしてから積分します．（次の指数法則に注意：xαxβ=xα+β）
. .3√x√ni(.√x√ni+1)=x.13n(x.12n+1)=x.56n+x.13n
1∫0www(x.56n+x.13n)dx=[n.611nnx.116nn+.34nx.43n

=(.611nn+.34n)−0=.5744nn → 3

【問題３】
.2∫1www .dx4x2−1nnnnn
1−log5 2−.log52nnnn
3−.log54nnnn 4.log32nnnn−.log54nnnn
HELP解答

被積分関数を，次のように部分分数分解して次数を下げてから積分します．
..14x2−1nnnnn=.12n(.12x−1nnnn−.12x+1nnnn)
2∫1www.12n(.12x−1nnnn−.12x+1nnnn)dx =.12n[n.log|2x−1|2nnnnnnnnn−.log|2x+1|2nnnnnnnnn =.14n[nlog|.2x−12x+1nnnn

=.14n(log.35n−log.13n)=.14nlog.35n.31n=.14nlog.95n =.log94nnnn−.log54nnnn=.2log34nnnnn−.log54nnnn =.log32nnnn−.log54nnnn → 4

【問題４】
.1∫0www .dxx2+1nnnn
1.π4n 2.π2n 3.2πn 4.4πn
HELP解答

被積分関数の分母が実係数の範囲では因数分解できない２次式である場合（判別式が負の場合），すなわち，分母が平方完成形になる場合
..1x2+A2nnnnn , .1a(x2+A2)nnnnnnn , .1a{(x+p)2+A2}nnnnnnnnnnnn (A>0)
x=Atanθ , x=Atanθ , x+p=Atanθの置換積分により定積分の値を計算できます．
1∫0www .dxx2+1nnnn π−4∫0www .1tan2θ+1nnnnnnn.dθcos2θnnnnn ここで，三角関数の相互関係から
sin2θ+cos2θ=1 → tan2θ+1=.1cos2θnnnnn したがって，つねに，(tan2θ+1)cos2θ=1が成り立ち，
元の被積分関数は1になる．

π−4∫0www dθ=[nθ=.π4n → 1

【問題５】
.1∫0www .dx.√x+1√nnni+.√x√ninnnnnnnn
1.23n(.√2√ni+1) 2.23n(.√2√ni−1)
3.43n(.√2√ni+1) 4.43n(.√2√ni−1)
HELP解答

分母が根号の和や差になっている場合は，符号が逆のものを分母分子にかけて分母を有理化します．
.1.√x+1√nnni+.√x√ninnnnnnnn=..√x+1√nnni−.√x√ni(.√x+1√nnni+.√x√ni)(.√x+1√nnni−.√x√ni)nnnnnnnnnnnnnnnnnnn
=.√x+1√nnni−.√x√ni
（原式）=1∫0www( .√x+1√nnni−.√x√ni)dx
=[n.23n(x+1).32n−.23nx.32n

=(.23n2.32n−.23n)−( .23n )=.43n.√2√ni−.43n → 4

【問題６】
.2∫0wwwx.√2−x√nnnidx
1.32n.√2√ni 2.43n.√2√ni
3.1312nn.√2√ni 4.1615nn.√2√ni
HELP解答

この問題では，
.2−x=t
とおく置換積分によっても解くことができますが，
一般に，
.（多項式）.√ax+b√nnnni
の形の被積分関数になっているときは，
..√ax+b√nnnni=t
とおく置換積分にすると多項式の積分になり，解き易くなります．
2∫0wwwx.√2−x√nnnidx
=0∫.√2√niwww(2−t2)t(−2t)dt
=−2.√2√ni∫0www (t4−2t2)dt
=−2[n.t55nn−.2t33nnn

=.1615nn.√2√ni → 4

.1(x−2)(x+3)nnnnnnnnnn =.Ax−2nnn−.Bx+3nnn とおいて，両辺の係数を比較する．
右辺を通分すると，分子は
A(x+3)−B(x−2)=(A−B)x+(3A+2B) これが，左辺の分子1と一致するためには
A=B=.15n

.1(x−3)(x+3)nnnnnnnnnn =.Ax−3nnn−.Bx+3nnn とおいて，両辺の係数を比較すると
A=B=.16n

.x−1(x−4)(x+1)nnnnnnnnnn =.Ax−4nnn+.Bx+1nnn とおいて，両辺の係数を比較する．
右辺を通分すると，分子は
A(x+1)+B(x−4)
=(A+B)x+(A−4B) これが，左辺の分子x−1と一致するためには
A+B=1, A−4B=−1
A=.35n , B=.25n したがって .x−1(x−4)(x+1)nnnnnnnnnn =.35n.1x−4nnn+.25n.1x+1nnn

x=2tanθとおくと
.dxdθnn=.2cos2θnnnnn

x	−2	→	2
θ	−.π4n	→	.π4n

x=.√2√nitanθとおくと
.dxdθnn=..√2√nicos2θnnnnn

x	0	→	.√2√ni
θ	0	→	.π4n

x=3tanθとおくと
.dxdθnn=.3cos2θnnnnn

x	.√3√ni	→	3
θ	.π6n	→	.π4n

(*1) .√3√ni=3tanθとなるのは
tanθ=.1.√3√ninn→θ=.π6n
(*2) 3=3tanθとなるのは
tanθ=1→θ=.π4n