現在地と前後の項目

*** 定積分 ***
/定積分の基本/定積分の置換積分法1/定積分の置換積分法2/定積分の部分積分法/limΣ→定積分/limΣ(2)入試問題/Excelで定積分/多項式.分数.無理関数の定積分/無理関数の定積分/三角関数の定積分/絶対値.三角関数の定積分/定積分の漸化式/間接的に求める/定積分で定義される関数/
*** 面積 ***
/閉曲線で囲まれた面積1/閉曲線で囲まれた面積2(媒介変数)/閉曲線で囲まれた面積3(媒介変数)/
*** 微分方程式 ***
/変数分離形微分方程式/定数係数の2階線形微分方程式(同次形)/定数係数の2階線形微分方程式(非同次形)/
*** 体積,表面積 ***
/体積,表面積/
*** 曲線の長さ ***
/曲線の長さ/
■定積分の置換積分法

◇解説◇
 定積分の置換積分では,

(1) 被積分関数

bawwwf(x)dx

(2) 積分変数

bawwwf(x)dx

(3) 積分区間

bawwwf(x)dx

の3箇所を書き換えます。
例1

10www(2x+1)3dx
2x+1=u とおくと

.dudxnn = 2 → dx = .du2nn

x ||||| 0 → 1
u 1 → 3
(原式)= 31www u3 .du2nn =[n .12n .u44nn = .818nn.18n = .808nn =10



※ ax + b = u とおくと,展開しなくてすむ
例2

1 - sin2 x = cos2 x だから,
cos x > 0 のとき, .1−sin2x√nnnnnni = cos x

そこで,


??www .1−x2√nnnni dx

→ x = sin u とおくと βαwww cos u ... du の形になります.


??www .a2−x2√nnnnni dx

→ x = a sin u (a > 0) とおくと βαwwwa cos u ... du の形になります.



■ 問題 次の空欄を埋めなさい。(なお,空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします.)
問題 答案
(1)

1-2www(x + 2)2(x−1)dx
◇考え方◇ x + 2 = u とおくと展開が簡単になります.
準備
計算
(原式) = .nnnn・・・(答)

(2)

10www.1−x√nnnnidx
◇考え方◇ 1−x = u とおくと,u.12n になります.
準備
計算
(原式) = = .nn


(3)

30www.dx.9−x2√nnnninnnnn


・・・[参考]・・・

◇考え方◇ x = 3 sin u とおくと, .9−x2√nnnni = .9−9sin2u√nnnnnnnni = 3 .1−sin2u√nnnnnni
= 3 |cos u| (cos u > 0 のときは 3 cos u)
準備

x = 3 sin u とおくと, .dxdunn = 3 cos u → dx = 3 cos u du
x ||||| 0 → 3
u  0 → .π2n
計算
(原式) = = .πnn

(4)

30www.9−x2√nnnni dx

・・・[参考]・・・

準備
x = 3 sin u とおくと,
x ||||| 0 → 3
u  0 → .π2n
  (この区間では cos u > 0)

.9−x2√nnnni = .9−9sin2u√nnnnnnnni = 3 .1−sin2u√nnnnnni = 3 cos u

.dxdunn = 3 cos u → dx = 3 cos u du
計算
(原式) = = .πnn


(5)

10www 2x(x2 + 1)3dx
準備
x2+ 1 = u とおくと,
.dudxnn = 2x → dx = .du2xnn
x ||||| 0 → 1
u  1 → 2
計算
(原式) = = .nnn

(6)

10www .exex+1nnnn dx


・・・[別解]・・・
準備
ex+ 1 = u とおくと,
.dudxnn = ex → dx = .duexnn

x ||||| 0 → 1
u  2 → e+1
計算
(原式) = = log .e+nnnn


(7)

10www .11+x2nnnn dx
◇考え方◇
 三角関数の公式:1+tan2u= .1cos2unnnnn を利用して, .11+tan2unnnnnnn = cos2u の形にします.

準備
x = tan u とおくと,
.11+x2nnnn = .11+tan2unnnnnnn = cos2u

.dxdunn = .1cos2unnnn   →  dx = .ducos2unnnn

x ||||| 0 → 1
u  0 → .π4n
計算
(原式) = = .πnn


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