現在地と前後の項目 *** 定積分 *** /定積分の基本/定積分の置換積分法1/定積分の置換積分法2/定積分の部分積分法/limΣ→定積分/limΣ(2)入試問題/Excelで定積分/多項式.分数.無理関数の定積分/無理関数の定積分/三角関数の定積分/絶対値.三角関数の定積分/定積分の漸化式/間接的に求める/定積分で定義される関数/ *** 面積 *** /閉曲線で囲まれた面積1/閉曲線で囲まれた面積2(媒介変数)/閉曲線で囲まれた面積3(媒介変数)/ *** 微分方程式 *** /変数分離形微分方程式/定数係数の2階線形微分方程式(同次形)/定数係数の2階線形微分方程式(非同次形)/ *** 体積,表面積 *** /体積,表面積/ *** 曲線の長さ *** /曲線の長さ/ ◇解説◇ 定積分の置換積分では, (1) 被積分関数 b∫af(x)dx (2) 積分変数 b∫af(x)dx (3) 積分区間 b∫af(x)dx の3箇所を書き換えます。 |
例1 1∫0(2x+1)3dx 2x+1=u とおくと(原式)= 3∫1 u3 du2 =[ 12 u44 = 818 −18 = 808 =10 ※ ax + b = u とおくと,展開しなくてすむ |
例2 1 - sin2 x = cos2 x だから, cos x > 0 のとき, √1−sin2x = cos x そこで, |
■ 問題 次の空欄を埋めなさい。(なお,空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします.) | |
問題 | 答案 |
(1) 1∫-2(x + 2)2(x−1)dx |
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(2) 1∫0√1−xdx |
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(3) 3∫0dx√9−x2 ・・・[参考]・・・
この形の関数の定積分は上端下端の値で表せますが,不定積分は逆三角関数を使わなければ表現できないので,
高校では扱いません。
∫dx√r2−x2 = ∫rcos urcos u du = ∫du = u + C ・・・ u が x に戻らない. ◆要点◆ b∫adx√r2−x2 :高校数学の範囲内 ∫dx√r2−x2 :高校数学の範囲外 |
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(4) 3∫0√9−x2 dx ・・・[参考]・・・
上の問題と同様,定積分は高校数学の範囲内,不定積分は範囲外です。
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(5) 1∫0 2x(x2 + 1)3dx |
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(6) 1∫0 exex+1 dx ・・・[別解]・・・ |
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(7) 1∫0 11+x2 dx |
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