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現在地と前後の項目 *** 定積分 *** /定積分の基本/定積分の置換積分法1/定積分の置換積分法2/定積分の部分積分法/limΣ→定積分/limΣ(2)入試問題/Excelで定積分/多項式.分数.無理関数の定積分/無理関数の定積分/三角関数の定積分/絶対値.三角関数の定積分/定積分の漸化式/間接的に求める/定積分で定義される関数/ *** 面積 *** /閉曲線で囲まれた面積1/閉曲線で囲まれた面積2（媒介変数）/閉曲線で囲まれた面積3（媒介変数）/ *** 微分方程式 *** /変数分離形微分方程式/定数係数の２階線形微分方程式（同次形）/定数係数の２階線形微分方程式（非同次形）/ *** 体積,表面積 *** /体積,表面積/ *** 曲線の長さ *** /曲線の長さ/
【例１】
（解答）x=t2−1 , y=−t2+2t+3とx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください． ［曲線の概形を描く］ (1) tの変化に対応したxの増減を調べる．  dxdt=2t
dydt=−2t+2=−2(t−1)
y=−(t+1)(t−3)=0 → t=−1, 3 → x=0, 8
(4) tの変化に対応した曲線の動き調べる．
 続く→
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→続き ［ 置換積分により変数をtに直して計算する］ S=8∫−1y1 dx−0∫−1y2 dx =3∫0(−t2+2t+3)2t dt−−1∫0(−t2+2t+3)2t dt  t44+23t3+32t2=……=643
≪(*)の式でt=0 (x=−1)の区切りを省略してしまったら，
面積が引き算になる話はどうなってしまうのか？？≫ −1∫0(−t2+2t+3)2t dtでピンクの図形の面積を表します だから 0∫−1(−t2+2t+3)2t dt=−−1∫0(−t2+2t+3)2t dt が面積の引き算を表すようになるのです．  |
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【例２】
（解答）x=10−t2 , y=−t2+2t+8とx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください． ［曲線の概形を描く］ (1) tの変化に対応したxの増減を調べる． dxdt=−2t
dydt=−2t+2=−2(t−1)
y=−(t+2)(t−4)=0 → t=−2, 4 → x=6, −6
(4) tの変化に対応した曲線の動き調べる．
 続く→
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→続き ［ 置換積分により変数をtに直して計算する］ S=10∫−6y1 dx−10∫6y2 dx =0∫4(−t2+2t+8)(−2t)dt−0∫−2(−t2+2t+8)(−2t)dt =−2∫4(−t2+2t+8)(−2t)dt …(*) =24∫−2(−t2+2t+8)tdt =24∫−2(−t3+2t2+8t)dt =2[− t44+23t3+4t2=……=72
≪繰り返しになるが(*)の式でt=0 (x=10)の区切りを省略してしまったら，面積が引き算になる話はどうなってしまうのか？？≫
0∫−2(−t2+2t+8)(−2t)dt でピンクの図形の面積を表すので +−2∫0(−t2+2t+8)(−2t)dt が面積の引き算を表すようになるのです．  |
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【例３】
（解答）x=t2−2t−3 , y=t2−4tとx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください． ［曲線の概形を描く］ (1) tの変化に対応したxの増減を調べる． dxdt=2(t−1)
dydt=2t−4=2(t−2)
y=t(t−4)=0 → t=0, 4 → x=−3, 5
(4) tの変化に対応した曲線の動き調べる．
x軸よりも下にあるので，面積はx2∫x1(−y)dxの形で計算します．  続く→
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→続き ［ 置換積分により変数をtに直して計算する］ S=4∫1(−t2+4t)(2t−2)dt−0∫1(−t2+4t)(2t−2)dt =4∫1(−t2+4t)(2t−2)dt+1∫0(−t2+4t)(2t−2)dt =4∫0(−t2+4t)(2t−2)dt =24∫0(−t2+4t)(t−1)dt =24∫0(−t3+5t2−4t)dt =2[− t44+53t3−2t2=……=643
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【問題１】x=t2 , y=−t2−2t+3とx軸とで囲まれる図形について，各々正しいものを選んでください．
(1)このグラフとx軸との交点の（x）座標はHELP −3, 1 −1 , 3 1 , 9 −1 , −9 |
y=−t2−2t+3=−(t+3)(t−1)=0 より t=−3 , 1 これをx=t2に代入すると x=9 , 1 |
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(2)曲線の向きについて ア） −3<t<−1の範囲でtが増加するとき HELP 
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dxdt=2t , dydt=−2(t+1)だから
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イ） t=−1のとき HELP
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dxdt=2t , dydt=−2(t+1)だから
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ウ） −1<t<0の範囲でtが増加するとき HELP
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dxdt=2t , dydt=−2(t+1)だから
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エ） t=0のとき HELP
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dxdt=2t , dydt=−2(t+1)だから
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オ） 0<t<1の範囲でtが増加するとき HELP
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dxdt=2t , dydt=−2(t+1)だから
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(6)図のように曲線のうちで上にある部分をy1，下にある部分をy2で表すとき，この曲線とx軸とで囲まれた図形を表す式は 9∫0y1 dx−1∫0y2 dx 0∫9y1 dx−0∫1y2 dx 0∫−3y1 dx−0∫1y2 dx −3∫0y1 dx−1∫0y2 dx |
積分変数がxのときは，積分区間はxの値の範囲とします． 9∫0y1 dx−1∫0y2 dx | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(7)(6)の結果を積分変数をtにして書き換えると，次のどの式になりますか． HELP 0∫−3(−t2−2t+3)dt−0∫1(−t2−2t+3)dt −3∫0(−t2−2t+3)dt−1∫0(−t2−2t+3)dt 0∫−3(−t2−2t+3)2t dt−0∫1(−t2−2t+3)2t dt −3∫0(−t2−2t+3)2t dt−1∫0(−t2−2t+3)2t dt |
被積分関数について y=−t2−2t+3 積分変数について dx=2t dt 積分区間について
のように各々変換すると， −3∫0(−t2−2t+3)2t dt−1∫0(−t2−2t+3)2t dt |
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(8)面積は，次のどの値になりますか． HELP  323
643
325
645
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2−3∫1(−t2−2t+3)t dt=2−3∫1(−t3−2t2+3t)dt
=2[−t44−23t3+32t2 =……=643
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【問題2】x=t2 , y=t2+t−2とx軸とで囲まれる図形の面積を求めてください
HELP92
94
98
916
dxdt=2t , dydt=−2(t+1)だから
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x軸よりも下にあることに注意すると
S=4∫0(−y1)dx−1∫0(−y2)dx
=−2∫0(−t2−t+2)2t dt−1∫0(−t2−t+2)2t dt
=−2∫0(−t2−t+2)2t dt+0∫1(−t2−t+2)2t dt
=−2∫1(−t2−t+2)2t dt
=2−2∫1(−t3−t2+2t)dt
=2[−t44−13t3+t2=……=92
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