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高校数学 >> 高校数学Ⅲ>> 定積分

【例題１】
　次の不定積分を求めよ．
(1)
${\displaystyle \int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}dx}$
(2)
${\displaystyle \int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx,\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx}$

${\displaystyle \int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\log \mid f(x)\mid +C}$

　基本が分かることは重要ですが，基本公式を覚えただけでできる問題は限られています．
　基本だけではできないが，特に新しいことは何も覚えなくても，式の特徴を見てその場で機転を利かせるというのが，ワンランクアップする１つの方法です…問題作成者の「興味」「関心」を読み取るのです．

これにもう１つ次の式が分かれば，問題は解けます．
${\displaystyle I_2=\int \frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}dx}$
ところがこの式は，よく考えればただ同然のものです．

【要点】
　和と差が分かれば，１つずつ求められる．

(1)
${\displaystyle \int \frac{e^x}{e^x+e^{-x}}dx}$解説

${\displaystyle I_1=\int \frac{e^x+e^{-x}}{e^x+e^{-x}}dx}$とおくと
${\displaystyle I_1=\int dx=x+C_1}$
${\displaystyle I_2=\int \frac{e^x-e^{-x}}{e^x}dx}$とおくと
${\displaystyle I_2=\int \frac{(e^x+e^{-x}{)}^{\prime }}{e^x+e^{-x}}dx=\log (e^x+e^{-x})+C_2}$
${\displaystyle \frac{I_1+I_2}{2}=\int \frac{e^x}{e^x+e^{-x}}dx=\frac{x+\log (e^x+e^{-x})}{2}+C}$…(*)
（参考）
この問題の答えは
${\displaystyle \frac{\log (e^{2x}+1)}{2}+C}$…(**)
とも書けるが，(*)(**)が等しいことは次のようにして示される．
(**)→${\displaystyle \frac{\log (e^{2x}+1)}{2}=\frac{\log \{e^x(e^x+e^{-x})\}}{2}}$
${\displaystyle =\frac{\log (e^x)+\log (e^x+e^{-x})}{2}=\frac{x+\log (e^x+e^{-x})}{2}}$→(*)
また，この不定積分は${\displaystyle e^x=t}$とおく置換積分によっても次のように求められる．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=e^x=t}$
${\displaystyle dx=\frac{dt}{t}}$

${\displaystyle \int \frac{e^x}{e^x+e^{-x}}dx=\int \frac{t}{t+t^{-1}}\cdot \frac{dt}{t}}$
${\displaystyle =\int \frac{t}{t^2+1}dt=\frac{1}{2}\int \frac{2t}{t^2+1}dt}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}\log (t^2+1)+C}$
${\displaystyle =\frac{\log (e^{2x}+1)}{2}+C}$

(2)
${\displaystyle \int \frac{e^{-x}}{e^x+e^{-x}}dx}$解説

(1)のように計算してから
${\displaystyle \frac{I_1-I_2}{2}=\int \frac{e^x}{e^x-e^{-x}}dx=\frac{x-\log (e^x+e^{-x})}{2}+C}$…(*)
（参考）
この結果は
${\displaystyle -\frac{\log (e^{-2x}+1)}{2}+C}$…(**)
とも書けるが，(*)(**)が等しいことは次のようにして示される．
(**)→${\displaystyle -\frac{\log (e^{-2x}+1)}{2}=-\frac{\log \{e^{-x}(e^{-x}+e^x)\}}{2}}$
${\displaystyle =-\frac{\log (e^{-x})+\log (e^x+e^{-x})}{2}=\frac{x-\log (e^x+e^{-x})}{2}}$→(*)
また，この不定積分は${\displaystyle e^{-x}=t}$とおく置換積分によっても求められる．

【例題２】
　次の定積分を求めよ．
(1)
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}dx}$
(2)
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx,{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx}$

${\displaystyle x=\frac{\pi }{2}-t}$とおくと

${\displaystyle x}$	${\displaystyle 0\to \frac{\pi }{2}}$
${\displaystyle t}$	${\displaystyle \frac{\pi }{2}\to 0}$

${\displaystyle \sin x=\cos t}$
${\displaystyle \cos x=\sin t}$
${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-1}$

【要点】
○和と差が分かれば，１つずつ求められる．

○一般化して
${\displaystyle X=\int f(x)dx,Y=\int g(x)dx}$
の各々を計算するのが難しく見えるときでも，○と●を既知の関数（や定数）として
${\displaystyle 2X+3Y=\circ }$
${\displaystyle 3X-2Y=\bullet }$
のような連立方程式が作ることができれば問題は解ける．

(1)
${\displaystyle X={\int }_{-1}^1\frac{e^{2x}}{e^{2x}+e^{-3x}}dx,Y={\int }_{-1}^1\frac{e^{-3x}}{e^{2x}+e^{-3x}}dx}$
とおくとき，${\displaystyle X,Y}$の値は
解説

${\displaystyle e^x=t}$とおく置換積分でもできますが，次のようにすると楽です．
${\displaystyle X+Y={\int }_{-1}^1\frac{e^{2x}+e^{-3x}}{e^{2x}+e^{-3x}}dx={\int }_{-1}^{1}dx=2}$…(*)
${\displaystyle 2X-3Y={\int }_{-1}^1\frac{2e^{2x}-3e^{-3x}}{e^{2x}+e^{-3x}}dx}$
${\displaystyle ={\int }_{-1}^1\frac{(2e^{2x}+3e^{-3x}{)}^{\prime }}{e^{2x}+e^{-3x}}dx=[\log (e^{2x}+e^{-3x}){]}_{-1}^1}$
${\displaystyle =\log (e^2+e^{-3})-\log (e^{-2}+e^3)}$
${\displaystyle =\frac{\log (e^2+e^{-3})}{\log (e^{-2}+e^3)}=\frac{\log (e^5+1)}{\log (e+e^6)}=\frac{\log (e^5+1)}{\log \{e(e^5+1)\}}}$
${\displaystyle =\frac{1}{\log (e)}=-1}$…(**)
(*)(**)より
${\displaystyle X=1,Y=1}$

(2)
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{2\sin x+3\cos x}dx}$
解説

次のようにすると楽です．
${\displaystyle X={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{2\sin x+3\cos x}dx}$
${\displaystyle Y={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{2\sin x+3\cos x}dx}$
とおく
${\displaystyle 3X+2Y={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}dx=\frac{\pi }{2}}$…(1)
${\displaystyle 2X-3Y={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{(2\sin x+3\cos x{)}^{\prime }}{2\sin x+3\cos x}dx}$
${\displaystyle =[\log (2\sin x+3\cos x){]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\log 2-\log 3}$
${\displaystyle =\log \frac{2}{3}}$…(2)
(1)×3+(2)×2
${\displaystyle 13X=\frac{3}{2}\pi +2\log \frac{2}{3}}$
${\displaystyle X=\frac{1}{13}(\frac{3}{2}\pi +2\log \frac{2}{3})}$

${\displaystyle I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\cos }^{3}x}{\cos x+\sin x}dx,J={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{3}x}{\cos x+\sin x}dx}$
とする．
(1) ${\displaystyle x=\frac{\pi }{2}-t}$とおいて置換積分を用いることで，${\displaystyle I=J}$を示せ．
(2) ${\displaystyle I+J}$の値を求めよ．
(3) ${\displaystyle I}$と${\displaystyle J}$の値を求めよ．
（静岡大学工学部2016年入試問題）

(1) ${\displaystyle x=\frac{\pi }{2}-t}$とおくと

${\displaystyle x}$	${\displaystyle 0\to \frac{\pi }{2}}$
${\displaystyle t}$	${\displaystyle \frac{\pi }{2}\to 0}$

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=-1}$
${\displaystyle I={\int }_{\frac{\pi }{2}}^0\frac{{\cos }^3(\frac{\pi }{2}-t)}{\cos (\frac{\pi }{2}-t)+\sin (\frac{\pi }{2}-t)}(-dt)}$
ここで，${\displaystyle \cos (\frac{\pi }{2}-t)=\sin t,\sin (\frac{\pi }{2}-t)=\cos t}$であるから
${\displaystyle I={\int }_{\frac{\pi }{2}}^0\frac{{\sin }^{3}t}{\sin t+\cos t}(-dt)}$
${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{3}t}{\cos t+\sin t}dt=J}$
(2) ${\displaystyle I+J={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\cos }^{3}x+{\sin }^{3}x}{\cos x+\sin x}dx}$
${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{(\cos x+\sin x)({\cos }^{2}x-\cos x\sin x+{\sin }^{2}x)}{\cos x+\sin x}dx}$
${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\cos }^{2}x-\cos x\sin x+{\sin }^{2}x)dx}$
${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-\frac{\sin 2x}{2})dx=[x+\frac{\cos 2x}{4}{]}_0^{\frac{\pi }{2}}}$
${\displaystyle =(\frac{\pi }{2}-\frac{1}{4})-(0+\frac{1}{4})=\frac{\pi -1}{2}}$
(3) ${\displaystyle I=J}$だから
${\displaystyle I=J=\frac{\pi -1}{4}}$

${\displaystyle X=\int \frac{\sin x}{\sin x+2\cos x}dx}$
${\displaystyle Y=\int \frac{\cos x}{\sin x+2\cos x}dx}$
とおくとき
${\displaystyle \int \frac{3\sin x+4\cos x}{\sin x+2\cos x}dx}$
に等しいものを選んでください．ただし積分定数を省略して答えるものとする．
解説

${\displaystyle \int \frac{3\sin x+4\cos x}{\sin x+2\cos x}dx}$
${\displaystyle =3\int \frac{\sin x}{\sin x+2\cos x}dx+4\int \frac{\cos x}{\sin x+2\cos x}dx}$
${\displaystyle =3X+4Y}$

例題2の解説(ア)の(1)、途中計算式2行目で、【log(sinx+cosx)】(積分区間0からπ/2)となっていますが、途中計算式1行目の右辺の与関数の分子がマイナス分母を微分したものとなっていますから、途中計算式2行目は、-【log(sinx+cosx)】(積分区間0からπ/2)ではないでしょうか？(logの前にはマイナスがつくのではということです)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．符号を訂正しました．