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高校数学 >> 高校数学Ⅲ>> 定積分

　(公式)

区分求積法によって面積を求めるときに，上の図のような単調増加関数の例で考えると，(A)は実際よりも少しずつ大きな短冊を集めたものになり，(B)は実際よりも少しずつ小さな短冊を集めたものになりますが，
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim},\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}}$
のときに(A)と(B)が同じ値に収束したら，その値を図形の面積と定義します．（単調減少関数であっても，増加区間と減少区間の両方があっても(A)(B)が一致したらそれを面積の定義とする．）
したがって，(A)と(B)は等しいと言えます．（これらが等しくなければ，面積は定義されないから）

＜要点＞

※なお，数列の和${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(x_k)}$が求められるとは限らないことに注意．

数列の和${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(x_k)}$は求められない場合でも，数列の和の極限${\displaystyle lim\sum _{k=1}^{n}f(x_k)}$は「定積分」だから計算できるのです．

　極限${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\cos \frac{k\pi }{3n}}$を求めよ．

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{1+\frac{8k}{n}}=}$ .345nnnnnnnn

[1]　まず，${\displaystyle \frac{1}{n}}$を分離する．（ $\mathrm{\Delta }x$として式の右端に位置に置く）
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n(\sqrt{1+\frac{8k}{n}})\frac{1}{n}}$
[2]　${\displaystyle x_k}$を決める→${\displaystyle f(x_k)}$を決める→${\displaystyle f(x)}$を決める．
${\displaystyle x_k=\frac{k}{n}}$
${\displaystyle f(x_k)=\sqrt{1+8x_k}}$
${\displaystyle f(x)=\sqrt{1+8x}}$
とおく．
[3]　${\displaystyle lim\sum \to \int }$とする．
${\displaystyle \int \sqrt{1+8x}dx}$
[4]${\displaystyle x_0=a,x_n=b}$とします．（${\displaystyle b-a=1}$でないなら，[1]の段階で${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$を調整します．）
${\displaystyle x_0=\frac{0}{n}=0,x_n=\frac{n}{n}=1}$
　（区間の幅が 1 だから，[1]において${\displaystyle \frac{1}{n}}$としたこととつじつまが合う）
以上から
${\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{1+8x}dx}$
後は，この定積分を計算すればよい．
ところで，次の公式を思い出そう．
${\displaystyle \int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}{x}^{\frac{1}{2}+1}+C}$
${\displaystyle =\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C}$
${\displaystyle \int \sqrt{ax+b}dx=\frac{2}{3a}(ax+b{)}^{\frac{3}{2}}+C}$
これにより
${\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{1+8x}dx=\frac{2}{3\times 8}(1+8x{)}^{\frac{3}{2}}}$
${\displaystyle =\frac{1}{12}(9^{\frac{3}{2}}-1)=\frac{1}{12}(27-1)=\frac{26}{12}=\frac{13}{6}}$…（答）
[4]に関連して：${\displaystyle x_k}$を主役として，見直した場合．

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{1+\frac{8k}{n}}}$
からスタートして，もし
${\displaystyle f(x)=\sqrt{1+x}}$
としたいのなら
${\displaystyle f(x_k)=\sqrt{1+x_k}}$
${\displaystyle x_k=\frac{8}{n}k}$
とすることになり
${\displaystyle x_0=\frac{8}{n}\times 0=0,x_n=\frac{8}{n}\times n=8}$
から，区間の幅が
${\displaystyle 8}$
になる．そのn等分として${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=\frac{8}{n}}$を使うことになるから
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n(\sqrt{1+\frac{8k}{n}})\frac{1}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n(\frac{1}{8}\sqrt{1+x_k})\frac{8}{n}}$
${\displaystyle =\frac{1}{8}{\int }_0^8\sqrt{1+x}dx=\frac{1}{8}\cdot \frac{2}{3}[(1+x{)}^{\frac{3}{2}}{]}_0^8}$
${\displaystyle =\frac{1}{12}(9^{\frac{3}{2}}-1)=\frac{1}{12}(27-1)=\frac{26}{12}=\frac{13}{6}}$

次の極限値を求めよ．
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\frac{1}{n+i}}$

(1) 次の極限値を求めよ．
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\frac{n}{(n+i)(2n+i)}}$

[1]　まず，${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$（通常は${\displaystyle \frac{1}{n}}$）を分離する．（この問題では「ないから作る」：nで割ってnを掛ける）
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\frac{n}{(n+i)(2n+i)}}$
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\{\frac{n^2}{(n+i)(2n+i)}\}\frac{1}{n}}$
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\{\frac{1}{(1+\frac{i}{n})(2+\frac{i}{n})}\}\frac{1}{n}}$
[2]　${\displaystyle x_i}$を決める→${\displaystyle f(x_i)}$を決める→${\displaystyle f(x)}$を決める．
${\displaystyle x_i=\frac{i}{n}}$
${\displaystyle f(x_i)=\frac{1}{(1+x_i)(2+x_i)}}$
${\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1+x)(2+x)}}$
とおく．
[3]　${\displaystyle lim\sum \to \int }$とする．
${\displaystyle \int \frac{1}{(1+x)(2+x)}dx}$
[4]${\displaystyle x_0=a,x_n=b}$とします．（${\displaystyle b-a=1}$でないなら，[1]の段階で${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$を調整します．）
${\displaystyle x_0=\frac{0}{n}=0,x_n=\frac{n}{n}=1}$
　（区間の幅が 1 だから，[1]において${\displaystyle \frac{1}{n}}$としたこととつじつまが合う）
以上から
${\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{(1+x)(2+x)}dx}$
後は，この定積分を計算すればよいが，次のように部分分数分解を使って行う．
${\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{(1+x)(2+x)}dx={\int }_0^1(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2})dx}$
${\displaystyle =[\log |x+1|-\log |x+2|{]}_0^1}$
${\displaystyle =(\log 2-\log 3)-(\log 1-\log 2)}$
${\displaystyle =2\log 2-\log 3=\log \frac{4}{3}}$…（答）

(2) 次の極限値を求めよ．
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2})}$

[1]　まず，${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$（通常は${\displaystyle \frac{1}{n}}$）を分離する．（この問題では「ないから作る」：nで割ってnを掛ける）
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{2n}{n^2+2^2}+\frac{3n}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n^2}{n^2+n^2})\frac{1}{n}\}}$
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{k=1}^n\frac{nk}{n^2+k^2})\frac{1}{n}}$
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{k=1}^n\frac{\frac{k}{n}}{1+(\frac{k}{n}{)}^2})\frac{1}{n}}$
[2]　${\displaystyle x_k}$を決める→${\displaystyle f(x_k)}$を決める→${\displaystyle f(x)}$を決める．
${\displaystyle x_k=\frac{k}{n}}$
${\displaystyle f(x_k)=\frac{x_k}{1+x_k^2}}$
${\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x^2}}$
とおく．
[3]　${\displaystyle lim\sum \to \int }$とする．
${\displaystyle \int \frac{x}{1+x^2}dx}$
[4]${\displaystyle x_0=a,x_n=b}$とします．（${\displaystyle b-a=1}$でないなら，[1]の段階で${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$を調整します．）
${\displaystyle x_0=\frac{0}{n}=0,x_n=\frac{n}{n}=1}$
　（区間の幅が 1 だから，[1]において${\displaystyle \frac{1}{n}}$としたこととつじつまが合う）
以上から
${\displaystyle {\int }_0^1\frac{x}{1+x^2}dx}$
後は，この定積分を計算すればよいが，分子が分母の微分となる形に変形できる．
${\displaystyle \frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{2x}{x^2+1}dx}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}[\log |x^2+1|{]}_0^1}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}(\log 2-\log 1)}$
${\displaystyle =\frac{\log 2}{2}}$…（答）

(3) 次の極限値を求めよ．
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\pi }{n^2}(\cos \frac{\pi }{2n}+2\cos \frac{2\pi }{2n}+\cdots +n\cos \frac{n\pi }{2n})}$

[1]　まず，${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$（通常は${\displaystyle \frac{1}{n}}$）を分離する．
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\pi }{n}(\cos \frac{\pi }{2n}+2\cos \frac{2\pi }{2n}+\cdots +n\cos \frac{n\pi }{2n})\frac{1}{n}}$
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{\pi }{n}\cos \frac{\pi }{2n}+\frac{2\pi }{n}\cos \frac{2\pi }{2n}+\cdots +\frac{n\pi }{n}\cos \frac{n\pi }{2n})\frac{1}{n}}$
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{k=1}^n\frac{k\pi }{n}\cos \frac{k\pi }{2n})\frac{1}{n}}$
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\sum _{k=1}^n\pi \frac{k}{n}\cos (\frac{\pi }{2}\cdot \frac{k}{n})\}\frac{1}{n}}$
[2]　${\displaystyle x_k}$を決める→${\displaystyle f(x_k)}$を決める→${\displaystyle f(x)}$を決める．
${\displaystyle x_k=\frac{k}{n}}$
${\displaystyle f(x_k)=\pi x_k\cos (\frac{\pi }{2}{x}_k)}$
${\displaystyle f(x)=\pi x\cos (\frac{\pi }{2}x)}$
とおく．
[3]　${\displaystyle lim\sum \to \int }$とする．
${\displaystyle \int \pi x\cos (\frac{\pi }{2}x)dx}$
[4]${\displaystyle x_0=a,x_n=b}$とします．（${\displaystyle b-a=1}$でないなら，[1]の段階で${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$を調整します．）
${\displaystyle x_0=\frac{0}{n}=0,x_n=\frac{n}{n}=1}$
　（区間の幅が 1 だから，[1]において${\displaystyle \frac{1}{n}}$としたこととつじつまが合う）
以上から
${\displaystyle {\int }_0^1\pi x\cos (\frac{\pi }{2}x)dx}$
後は，この定積分を計算すればよいが，次のように対応させて部分積分法を利用する．
${\displaystyle [\pi x\frac{2}{\pi }\sin (\frac{\pi }{2}x){]}_0^1-{\int }_0^1\pi \frac{2}{\pi }\sin (\frac{\pi }{2}x)dx}$
${\displaystyle =(2-0)-{\int }_0^{1}2\sin (\frac{\pi }{2}x)dx}$
${\displaystyle =2+[2\times \frac{2}{\pi }\cos (\frac{\pi }{2}x){]}_0^1}$
${\displaystyle =2+\frac{4}{\pi }(0-1)=2-\frac{4}{\pi }}$ …（答）
[4]に関連して：${\displaystyle x_k}$を主役として，見直した場合．

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\sum _{k=1}^n\pi \frac{k}{n}\cos (\frac{\pi }{2}\cdot \frac{k}{n})\}\frac{1}{n}}$
からスタートして，もし
${\displaystyle x_k=\frac{\pi }{n}k}$
としたいのなら
${\displaystyle x_0=\frac{\pi }{n}\times 0=0,x_n=\frac{\pi }{n}\times n=\pi }$
から，区間の幅が
${\displaystyle \pi }$
になる．そのn等分として${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=\frac{\pi }{n}}$を使うことになるから
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}\cos (\frac{\pi }{2}\cdot \frac{k}{n})\}\frac{\pi }{n}}$
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\sum _{k=1}^n\frac{1}{\pi }\cdot \frac{k\pi }{n}\cos (\frac{\pi }{2}\cdot \frac{k}{n})\}\frac{\pi }{n}}$
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\sum _{k=1}^n\frac{1}{\pi }\cdot x_k\cos (\frac{x_k}{2})\}\frac{\pi }{n}}$
${\displaystyle f(x_k)=\frac{x_k}{\pi }\cdot \cos (\frac{x_k}{2})}$
${\displaystyle f(x)=\frac{x}{\pi }\cos (\frac{x}{2})}$
とすることになり
${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\frac{x}{\pi }\cos (\frac{x}{2})dx}$
の計算になる．（結果は同じ）

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{n}f(x_k)\mathrm{\Delta }x={\int }_a^{b}f(x)dx}$…(A)
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^{n-1}f(x_k)\mathrm{\Delta }x={\int }_a^{b}f(x)dx}$…(B)
以外の場合

次の極限値を求めよ．
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n+1}\frac{\sqrt[n]{e^i}}{n}}$

元の問題が
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=0}^n{e}^{\frac{i}{n}}\frac{1}{n}}$
の場合は
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{\frac{0}{n}}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n{e}^{\frac{i}{n}}\frac{1}{n}}$
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+{\int }_0^1{e}^{x}dx=0+{\int }_0^1{e}^{x}dx}$
とすればよい．また，次のように変形してもよい．
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=0}^{n-1}{e}^{\frac{i}{n}}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{\frac{n}{n}}\frac{1}{n}}$
${\displaystyle ={\int }_0^1{e}^{x}dx+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{e}{n}={\int }_0^1{e}^{x}dx+0}$

次の極限値を求めよ．
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n-1}{e}^{\frac{k}{n}}\frac{1}{n}}$

次のように変形してもよい．
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=0}^{n-1}{e}^{\frac{k}{n}}\frac{1}{n}-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{\frac{0}{n}}\frac{1}{n}}$
${\displaystyle ={\int }_0^1{e}^{x}dx-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}={\int }_0^1{e}^{x}dx-0}$

次の極限値を求めよ．
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{2n}{e}^{\frac{k}{n}}\frac{1}{n}}$

次の極限値を求めよ．
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{3n}\frac{1}{3n+k}}$

ア） 極限移行する前の項数は３n項であるから，この項数に合わせて３n等分すると考えるとき

[1]　まず，${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$すなわち${\displaystyle \frac{1}{3n}}$を分離する．
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{3n}(\frac{3n}{3n+k})\frac{1}{3n}}$
[2]　${\displaystyle x_k}$を決める→${\displaystyle f(x_k)}$を決める→${\displaystyle f(x)}$を決める．
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{3n}(\frac{1}{1+\frac{k}{3n}})\frac{1}{3n}}$
と変形しておく
${\displaystyle x_k=\frac{k}{3n}}$
${\displaystyle f(x_k)=\frac{1}{1+x_k}}$
${\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}}$
とおく．
[3]　${\displaystyle lim\sum \to \int }$とする．
${\displaystyle \int \frac{1}{1+x}dx}$
[4]${\displaystyle x_0=a,x_{3n}=b}$とします．（${\displaystyle b-a=1}$でないなら，[1]の段階で${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$を調整します．）
${\displaystyle x_0=\frac{0}{3n}=0,x_{3n}=\frac{3n}{3n}=1}$
　（区間の幅が 1 だから，[1]において${\displaystyle \frac{1}{3n}}$としたこととつじつまが合う）
以上から
${\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx=[\log |1+x|{]}_0^1=\log 2}$
イ） 横幅${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=\frac{1}{n}}$の短冊を３n個足していくと考える場合
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{3n}(\frac{n}{3n+k})\frac{1}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{3n}(\frac{1}{3+\frac{k}{n}})\frac{1}{n}}$
${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=\frac{1}{n}}$
${\displaystyle x_k=\frac{k}{n}}$
${\displaystyle f(x_k)=\frac{1}{3+x_k}}$
${\displaystyle f(x)=\frac{1}{3+x}}$
とおく．
${\displaystyle x_0=\frac{0}{n}=0,x_{3n}=\frac{3n}{n}=3}$
以上から
${\displaystyle {\int }_0^3\frac{1}{3+x}dx=[\log |3+x|{]}_0^3}$
${\displaystyle =\log 6-\log 3=\log \frac{6}{3}=\log 2}$

次の極限値を求めよ．
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}}$

次の極限値を求めよ．
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=n+1}^{3n}\frac{k^2}{n^3}}$

ア） 項数に合わせて２n等分の短冊で考え，１項から2n項までの和に直すとき
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\frac{(n+1{)}^2}{n^3}+\frac{(n+2{)}^2}{n^3}+\cdots +\frac{(3n{)}^2}{n^3}\}}$
${\displaystyle =2\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\frac{(n+1{)}^2}{n^2}+\frac{(n+2{)}^2}{n^2}+\cdots +\frac{(3n{)}^2}{n^2}\}\frac{1}{2n}}$
${\displaystyle =2\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{2n}\{\frac{(n+k{)}^2}{n^2}\}\frac{1}{2n}}$
${\displaystyle =2\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{2n}(1+\frac{k}{n}{)}^2\frac{1}{2n}}$
${\displaystyle =2\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{2n}(1+2\frac{k}{2n}{)}^2\frac{1}{2n}}$
${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=\frac{1}{2n}}$
${\displaystyle x_k=\frac{k}{2n}}$
${\displaystyle f(x_k)=(1+2x_k{)}^2}$
${\displaystyle f(x)=(1+2x{)}^2}$
とおく．
${\displaystyle x_0=\frac{0}{n}=0,x_{2n}=\frac{2n}{2n}=1}$
以上から
${\displaystyle 2{\int }_0^1(1+2x{)}^{2}dx=[2\times \frac{1}{2\times 3}(1+2x{)}^3{]}_0^1}$
${\displaystyle =\frac{1}{3}(3^3-1^3)=\frac{26}{3}}$
イ） 項数に合わせて２n等分の短冊で考え，n+1項から３n項までの和のまま求めるとき
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=n+1}^{3n}\frac{k^2}{n^3}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=n+1}^{3n}(\frac{2k^2}{n^2})\frac{1}{2n}}$
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=n+1}^{3n}8(\frac{k}{2n}{)}^2\frac{1}{2n}}$
${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=\frac{1}{2n}}$
${\displaystyle x_k=\frac{k}{2n}}$
${\displaystyle f(x_k)=8x_k^2}$
${\displaystyle f(x)=8x^2}$
とおく．
${\displaystyle x_n=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2},x_{3n}=\frac{3n}{2n}=\frac{3}{2}}$
以上から
${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}8x^{2}dx=[\frac{8}{3}{x}^3{]}_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}}$
${\displaystyle =\frac{8}{3}(\frac{27}{8}-\frac{1}{8})=\frac{26}{3}}$

ウ） 横幅${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=\frac{1}{n}}$の短冊を２n個足していくと考え，１項から2n項までの和に直すとき
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\frac{(n+1{)}^2}{n^3}+\frac{(n+2{)}^2}{n^3}+\cdots +\frac{(3n{)}^2}{n^3}\}}$
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{2n}\{\frac{(n+k{)}^2}{n^2}\}\frac{1}{n}}$
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{2n}(1+\frac{k}{n}{)}^2\frac{1}{n}}$
${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=\frac{1}{n}}$
${\displaystyle x_k=\frac{k}{n}}$
${\displaystyle f(x_k)=(1+x_k{)}^2}$
${\displaystyle f(x)=(1+x{)}^2}$
とおく．
${\displaystyle x_0=\frac{0}{n}=0,x_{2n}=\frac{2n}{n}=2}$
以上から
${\displaystyle {\int }_0^2(1+x{)}^{2}dx=[\frac{1}{3}(1+x{)}^3{]}_0^2}$
${\displaystyle =\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}}$

エ） 横幅${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=\frac{1}{n}}$の短冊を２n個足していくと考え，n+1項から３n項までの和のまま計算するとき
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=n+1}^{3n}(\frac{k}{n}{)}^2\frac{1}{n}}$
${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=\frac{1}{n}}$
${\displaystyle x_k=\frac{k}{n}}$
${\displaystyle f(x_k)=x_k^2}$
${\displaystyle f(x)=x^2}$
とおく．
${\displaystyle x_n=\frac{n}{n}=1,x_{3n}=\frac{3n}{n}=3}$
以上から
${\displaystyle {\int }_1^3{x}^{2}dx=[\frac{1}{3}{x}^3{]}_1^3}$
${\displaystyle =\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}}$