■　以上により，S=・・・これが，求める図形の面積です．

　上の図形の面積は，定積分で表わされます．

上組と下組は等しいので，　も成立します．

(公式)

■　この公式を使うには，「各部品」を正確に対応させることが大切です．（初めは，大変難しいものです．）

＜要点＞
１　まず，Δｘ（通常は１／ｎ）を分離すること：これがｄｘになります．
（Σ記号の初項から末項までの項数ｎ個の等分となっている）
２　ｘ_ｋを決める　→　ｆ（ｘ_ｋ）を決める　→　ｆ（ｘ）を決める．　　　　　
３　limΣ→∫　とします．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
４　ｘ_０＝ａ，ｘ_ｎ＝ｂ　とします．（ｂ－ａ＝１でないなら，１の段階でΔｘを調整します．）　　　　　　　　　　　　　　　

• １／ｎ＝Δｘ　がなければ積分できません．なければ作ります．このために，１／ｎでくくります．（区間の幅は１）


• ｋ／ｎ＝ｘ_ｋ　→　ｆ（ｘ_ｋ）＝　→　ｆ（ｘ）＝　とします．
• ｋ／ｎ＝ｘ_ｋ　→　ａ＝ｘ_０＝０，　ｂ＝ｘ_ｎ＝１（区間の幅は１でよい．）
• limΣを∫にします．

＝＝

（答案１） ＝

（答案２） ＝

（答案１） ＝ ＝

（答案２） ＝ ＝

(考え方)
　または　　が　　に等しいので，
　では，「皮１枚分」多いことになります．（次の図参照）

→

この場合，「大した違いはないから」などとあいまいにせず，「過剰分を引いて定積分を完成してから」「右端（または左端）の項を加え」ます．

（答案）

＝

(考え方)
　または　　が　　に等しいので，この問題では「皮１枚分不足」です．
この場合，「不足分を埋めて，定積分を完成してから」「引きます」．（次の図参照）（埋めるのは，左端でもよい．）

（答案）
＝

(考え方)
k=1～3nなので，短冊の横幅としてΔｘ＝１／（3n）を使うと，図形を想像しやすくなります．
（答案）


※　（例１）でｎに３ｎを代入したものと一致します．

(考え方)
ｋ＝ｎ＋１～３ｎ　なので，項数は２ｎです．
Δｘ＝１／（2n），ｘ_ｋ＝ｋ／（2n）とおくとき，ａ＝ｘ_ｎ＝１／２，ｂ＝ｘ_３ｎ＝３／２　です．
（答案）

＝

[第1問 / 全7問]
解説 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}\sqrt{1+\frac{k}{n}}}$ において ${\displaystyle \frac{1}{n}=\mathrm{\Delta }x\to dx,\frac{k}{n}=x_k\to x}$ とおくと ${\displaystyle f(x_k)=\sqrt{1+x_k}\to f(x)=\sqrt{1+x}}$ ${\displaystyle a=x_0=0,b=x_n=1}$ となるから （原式）=${\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{1+x}dx}$ →解説を隠す← ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2+k^2}}$ においては，Δx となるべき 1/n がないから，これを作る 分母をn2でくくると ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{k}{1+(\frac{k}{n}{)}^2}\times \frac{1}{n^2}}$ 1/n2 のままではｎ等分にならないので1/n×1/nに分ける ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{\frac{k}{n}}{1+(\frac{k}{n}{)}^2}\times \frac{1}{n}}$ ${\displaystyle \frac{1}{n}=\mathrm{\Delta }x\to dx,\frac{k}{n}=x_k\to x}$ とおくと ${\displaystyle f(x_k)=\frac{x_k}{1+x_k^2}\to f(x)=\frac{x}{1+x^2}}$ ${\displaystyle a=x_0=0,b=x_n=1}$ となるから （原式）=${\displaystyle {\int }_0^1\frac{x}{1+x^2}dx}$ →解説を隠す← ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{1}{n^2}(\sqrt{k}+\sqrt{n}{)}^2}$ において，Δx となるべき 1/n を後ろに回して見やすくする ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{(\sqrt{k}+\sqrt{n}{)}^2}{n}\times \frac{1}{n}}$ 真ん中の式の分数の形を整える ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n(\frac{\sqrt{k}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}{)}^2\times \frac{1}{n}}$ ${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n(\sqrt{\frac{k}{n}}+1{)}^2\times \frac{1}{n}}$ ${\displaystyle \frac{1}{n}=\mathrm{\Delta }x\to dx,\frac{k}{n}=x_k\to x}$ とおくと ${\displaystyle f(x_k)=(\sqrt{x_k}+1{)}^2\to f(x)=(\sqrt{x}+1{)}^2}$ ${\displaystyle a=x_0=0,b=x_n=1}$ となるから （原式）=${\displaystyle {\int }_0^1(\sqrt{x}+1{)}^{2}dx}$ →解説を隠す← ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n\sqrt{n}}\sum _{k=1}^n\sqrt{k}}$ Σ記号の中では，ｋが変数でｎは定数だから ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}}}$ Δx となるべき 1/n を後ろに回して見やすくする ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{n}}\times \frac{1}{n}}$ ${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}\times \frac{1}{n}}$ ${\displaystyle \frac{1}{n}=\mathrm{\Delta }x\to dx,\frac{k}{n}=x_k\to x}$ とおくと ${\displaystyle f(x_k)=\sqrt{x_k}\to f(x)=\sqrt{x}}$ ${\displaystyle a=x_0=0,b=x_n=1}$ となるから （原式）=${\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{x}dx}$ →解説を隠す← ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{(n+k{)}^2}{n^3}}$ Δx となるべき 1/n を後ろに回して見やすくする ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{(n+k{)}^2}{n^2}\times \frac{1}{n}}$ ${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n(\frac{n+k}{n}{)}^2\times \frac{1}{n}}$ ${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n(1+\frac{k}{n}{)}^2\times \frac{1}{n}}$ ${\displaystyle \frac{1}{n}=\mathrm{\Delta }x\to dx,\frac{k}{n}=x_k\to x}$ とおくと ${\displaystyle f(x_k)=(1+x_k{)}^2\to f(x)=(1+x{)}^2}$ ${\displaystyle a=x_0=0,b=x_n=1}$ となるから （原式）=${\displaystyle {\int }_0^1(1+x{)}^{2}dx}$ →解説を隠す← ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{1}{n^2}\sqrt{n^2+k^2}}$ Δx となるべき 1/n を後ろに回して見やすくする ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}\sqrt{n^2+k^2}\times \frac{1}{n}}$ ${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\sqrt{1+\frac{k^2}{n^2}}\times \frac{1}{n}}$ ${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\sqrt{1+(\frac{k}{n}{)}^2}\times \frac{1}{n}}$ ${\displaystyle \frac{1}{n}=\mathrm{\Delta }x\to dx,\frac{k}{n}=x_k\to x}$ とおくと ${\displaystyle f(x_k)=\sqrt{1+x_k^2}\to f(x)=\sqrt{1+x^2}}$ ${\displaystyle a=x_0=0,b=x_n=1}$ となるから （原式）=${\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{1+x^2}dx}$ →解説を隠す← ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}}$ 1/n を作るために分母をnでくくる（根号内は n2で割る） ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}\times n}}$ ${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}}\times \frac{1}{n}}$ ${\displaystyle \frac{1}{n}=\mathrm{\Delta }x\to dx,\frac{k}{n}=x_k\to x}$ とおくと ${\displaystyle f(x_k)=\frac{1}{\sqrt{1+x_k}}\to f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}}$ ${\displaystyle a=x_0=0,b=x_n=1}$ となるから （原式）=${\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x}}dx}$ →解説を隠す←