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高校数学 >> 高校数学Ⅲ>> 定積分

.ddxnnF(x)=f(x) ⇔ ∫wnf(x) dx=F(x)+C

定積分は不定積分の値の差で定義される
b∫awwwf(x) dx=F(b)−F(a)

※初めて習うときに、引き算の仕方を間違う人が時々いるので注意。F(a)−F(b)ではない。

定積分の計算は、f(b)−f(a)のように関数f(x)に直接値を代入するのではなく、一旦不定積分F(x)を求めてからこれに代入することになるので、２段階の操作になる：F(b)−F(a)
　そこで、この計算をスムーズに行えるように「まず不定積分F(x)を求めて」「次に、a, bを代入する」ということを表すために
[nF(x)
という記号を使う。

b∫awwwf(x) dx=[nF(x)=F(b)−F(a)

和ΣはSum→その極限を表すためにSを縦に伸ばして∫wnという記号を使う。

　定積分の計算においては、不定積分に登場する積分定数Cの値としてどの値を使っても同じになるので、計算が最も簡単になるようにC=0とするのが常識

(1)
5∫1www.dxx+1nnn

(2)
9∫4www.√x√nidx

(3)
1∫0wwwe2xdx

(4)
2∫1wwwlogx dx

(5)
π∫0wwwcos 2x dx

(I)不定積分と同様の性質が成り立つもの
1. b∫awwwkf(x)dx=kb∫awwwf(x)dx …（kは定数）
2. b∫awww{f(x)+g(x)}dx=b∫awwwf(x)dx+b∫awwwg(x)dx
3. b∫awww{f(x)−g(x)}dx=b∫awwwf(x)dx−b∫awwwg(x)dx
(II)下端、上端に関するもの（定積分だけの性質）
1. b∫awwwf(x)dx= −a∫bwwwf(x)dx
2. a∫awwwf(x)dx=0
3. b∫awwwf(x)dx+c∫bwwwf(x)dx=c∫awwwf(x)dx

(1)${\displaystyle {\int }_1^9\sqrt{x}dx}$

　根号のついている無理関数は，指数を分数に直して考えるのが基本です．
${\displaystyle {\int }_1^9\sqrt{x}dx={\int }_1^9{x}^{\frac{1}{2}}dx={\left[\frac{1}{\frac{1}{2}+1}{x}^{\frac{1}{2}+1}\right]}_1^9}$
${\displaystyle ={\left[\frac{1}{\frac{3}{2}}{x}^{\frac{3}{2}}\right]}_1^9={\left[\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\right]}_1^9=\frac{2}{3}(9^{\frac{3}{2}}-1)}$
${\displaystyle =\frac{2}{3}(27-1)=\frac{52}{3}}$･･･（答）
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(2)${\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{x}(x+\sqrt[3]{x^2})dx}$

　根号のついている無理関数は，指数を分数に直して考えるのが基本です．
${\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{x}(x+\sqrt[3]{x^2})dx={\int }_0^1{x}^{\frac{1}{2}}(x+x^{\frac{2}{3}})dx}$
${\displaystyle ={\int }_0^1(x^{\frac{1}{2}+1}+x^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}})dx={\int }_0^1(x^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{7}{6}})dx}$
${\displaystyle ={[\frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}}+\frac{6}{13}{x}^{\frac{13}{6}}]}_0^1=\frac{2}{5}+\frac{6}{13}}$
${\displaystyle =\frac{56}{65}}$･･･（答）
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(3)${\displaystyle {\int }_0^1\frac{dx}{(x+1)(x+2)}}$

　部分分数分解を行う
${\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}}$
だから
${\displaystyle {\int }_0^1\frac{dx}{(x+1)(x+2)}={\int }_0^1(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2})dx}$
${\displaystyle =[\log (x+1)-\log (x+2){]}_0^1}$
${\displaystyle =(\log 2-\log 3)-(\log 1-\log 2)}$
${\displaystyle =2\log 2-\log 3}$ ･･･（答）
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(4)${\displaystyle {\int }_{-2}^3\frac{dx}{x^2-x-12}}$

　部分分数分解を行う
${\displaystyle \frac{1}{(x-4)(x+3)}=\frac{1}{7}\{\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+3}\}}$
だから
${\displaystyle {\int }_{-2}^3\frac{dx}{x^2-x-12}={\int }_{-2}^3\frac{1}{7}\{\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+3}\}dx}$
${\displaystyle =\frac{1}{7}[\log |x-4|-\log |x+3|{]}_{-2}^3}$
${\displaystyle =\frac{1}{7}\{(\log 1-\log 6)-(\log 6-\log 1)\}}$
${\displaystyle =-\frac{2\log 6}{7}}$ ･･･（答）
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(5)${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x\cos 2xdx}$

　三角関数の積は和に直してから積分を求めます
${\displaystyle \sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$
${\displaystyle \underset{―}{+)\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }}$
${\displaystyle \sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=2\sin \alpha \cos \beta }$
${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\}}$
だから
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x\cos 2xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2}\{\sin 3x+\sin (-x)\}dx}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}{[-\frac{1}{3}\cos 3x+\cos x]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{2}\{0-(-\frac{1}{3}+1)\}}$
${\displaystyle =-\frac{1}{3}}$ ･･･（答）
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(6)${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}3xdx}$

　三角関数の２乗は半角公式（倍角公式）で積を避けてから積分を求めます
${\displaystyle \cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1}$
${\displaystyle {\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}}$
だから
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}3xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+\cos 6x}{2}dx}$
${\displaystyle ={[\frac{x}{2}+\frac{\sin 6x}{12}]}_0^{\frac{\pi }{2}}=(\frac{\pi }{4}-0)-(0-0)}$
${\displaystyle =\frac{\pi }{4}}$･･･（答）
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(7)${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\mid \sin x\mid dx}$

　被積分関数に絶対値記号が付いているときは，区間を分けて絶対値記号を外してから積分します
ア) ${\displaystyle 0\leqq x\leqq \pi }$のとき，${\displaystyle \mid \sin x\mid =\sin x}$
イ) ${\displaystyle \pi \leqq x\leqq 2\pi }$のとき，${\displaystyle \mid \sin x\mid =-\sin x}$ だから
（原式）${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }\sin xdx+{\int }_{\pi }^{2\pi }(-\sin x)dx}$
${\displaystyle =[-\cos x{]}_0^{\pi }+[\cos x{]}_{\pi }^{2\pi }}$
${\displaystyle =\{-(-1)-(-1)\}+\{1-(-1)\}=4}$ ･･･（答）
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(8)${\displaystyle {\int }_{-1}^1\mid e^x-e^{-x}\mid dx}$

　被積分関数に絶対値記号が付いているときは，区間を分けて絶対値記号を外してから積分します
ア) ${\displaystyle x<0}$のとき，${\displaystyle e^x>e^{-x}}$
イ) ${\displaystyle 0<x}$のとき，${\displaystyle e^x<e^{-x}}$ だから
${\displaystyle {\int }_{-1}^1\mid e^x-e^{-x}\mid dx={\int }_{-1}^0\mid e^x-e^{-x}\mid dx+{\int }_0^1\mid e^x-e^{-x}\mid dx}$
${\displaystyle ={\int }_{-1}^0(e^{-x}-e^x)dx+{\int }_0^1(e^x-e^{-x})dx}$
${\displaystyle ={[-e^{-x}-e^x]}_{-1}^0+{[e^x+e^{-x}]}_0^1}$
${\displaystyle =\{(-1-1)-(-\frac{1}{e}-e)\}+\{(e+\frac{1}{e})-(1+1)\}}$
${\displaystyle =2e+\frac{2}{e}-4}$ ･･･（答）

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(9)${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mid 3\sin x-4\cos x\mid dx}$

　被積分関数に絶対値記号が付いているときは，区間を分けて絶対値記号を外してから積分します
　右図のようにして決まる角度を${\displaystyle \alpha }$とするとき
${\displaystyle \tan \alpha =\frac{4}{3},\sin \alpha =\frac{4}{5},\cos \alpha =\frac{3}{5}}$
ア) ${\displaystyle 0<x<\alpha }$のとき
${\displaystyle \tan x<\tan \alpha =\frac{4}{3}\to \frac{\sin x}{\cos x}<\frac{4}{3}\to 3\sin x<4\cos x}$
イ) ${\displaystyle \alpha <x<\frac{\pi }{2}}$のとき
${\displaystyle \tan x>\tan \alpha =\frac{4}{3}\to \frac{\sin x}{\cos x}>\frac{4}{3}\to 3\sin x>4\cos x}$
だから
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mid 3\sin x-4\cos x\mid dx}$
${\displaystyle ={\int }_0^{\alpha }(4\cos x-3\sin x)dx+{\int }_{\alpha }^{\frac{\pi }{2}}(3\sin x-4\cos x)dx}$
${\displaystyle =[4\sin x+3\cos x{]}_0^{\alpha }-[3\cos x+4\sin x{]}_{\alpha }^{\frac{\pi }{2}}}$
${\displaystyle =\{(4\sin \alpha +3\cos \alpha )-(3+0)\}-\{(0+4)-(3\cos \alpha +4\sin \alpha )\}}$
${\displaystyle =8\sin \alpha +\cos \alpha -7=8\times \frac{4}{5}+6\times \frac{3}{5}-7}$
${\displaystyle =3}$ ･･･（答）

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図3の下の紫色の囲みの式について、 F(b－a) という風に代入すると楽になると学校で教わったのですが、そうするとF(b)－F(a) で計算するときと答えが合わなくなります。 F(b－a)は間違いですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．一般に「F(b－a) という風に代入すると楽になると学校で教わった」ことはないでしょう．ノートの写し間違いでしょう．
そのようなことが言えるのはf(x)が定数になっているような特別な場合，すなわちf(x)=k → F(x)=kx → F(b)−F(a)=kb−ka=F(b−a)となるような場合だけです．

めちゃくちゃありがたいです！ すごく助かってます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

問題があるのはとてもいいけど問題が変わるようにしてほしい！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．