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現在地と前後の項目 *** 定積分 *** /定積分の基本/定積分の置換積分法1/定積分の置換積分法2/定積分の部分積分法/limΣ→定積分/limΣ(2)入試問題/Excelで定積分/多項式.分数.無理関数の定積分/無理関数の定積分/三角関数の定積分/絶対値.三角関数の定積分/定積分の漸化式/間接的に求める/定積分で定義される関数/ *** 面積 *** /閉曲線で囲まれた面積1/閉曲線で囲まれた面積2（媒介変数）/閉曲線で囲まれた面積3（媒介変数）/ *** 微分方程式 *** /変数分離形微分方程式/定数係数の２階線形微分方程式（同次形）/定数係数の２階線形微分方程式（非同次形）/ *** 体積,表面積 *** /体積,表面積/ *** 曲線の長さ *** /曲線の長さ/
【基本の公式】
（解説）π−2∫0sinx dx=1…(1) π∫0sinx dx=2…(2) π∫−πsinx dx=0…(3) π∫−πsinnx dx=0 (n=1,2,3,...)…(4)
図で示せば：
(1)← Aの部分の面積が1 計算で示せば： π−2∫0sinx dx=[−cosx =(−0)−(−1)=1
図で示せば：
(2)← AとBの面積は等しいから合計は2 計算で示せば： π∫0sinx dx=[−cosx ={−(−1) }−(−1)=2
図で示せば：
(3)← A,B,C,Dの面積は等しいが，符号が逆になっておりC=D=−A=−Bだから，これらを単純に足せば0になる 計算で示せば： π∫−πsinx dx=[−cosx ={−(−1) }−{−(−1) }=0 右に続く→ |
(4)← はじめに，y=sinnxのグラフはy=sinxのグラフを横方向にn倍に引き延ばしたものではなく，n分の１に縮めたものになることに注意しましょう．
この点について，高校生には思い違いが多いので，詳しく述べると
(4)式に戻ると，−π≦x≦πの区間にn=2の場合は，山と谷が２つずつでき，n=3の場合は，山と谷が３つずつできるので，定積分の値は0になります．一般に，y=sinnxとなっているときも同様です．
x=  π2のときsinx=1で山に達しますがx= π4のとき2x=π2 , sin2x=1となって山に達しますさらに x= π6のとき3x=π2 , sin3x=1となって山に達します  計算で示せば： π∫−πsinnx dx=[− cosnxn
nが偶数のとき：(−
となって，いずれの場合も０になります．
1n)−(−1n)=0nが奇数のとき：( 1n)−(1n)=0 |
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【基本の公式】
（解説）π−2∫0cosx dx=1…(5) π∫0cosx dx=0…(6) π∫−πcosx dx=0…(7) π∫−πcosnx dx=0 (n=1,2,3,...)…(8)
図で示せば：
(1)← Aの部分の面積が1 計算で示せば： π−2∫0cosx dx=[sinx =(1)−(0)=1
図で示せば：
(2)← B=−Aだから和は0 計算で示せば： π∫0cosx dx=[sinx =(0)−(0)=0 右に続く→ |
図で示せば：
(3)← B=D=−A=−Cだから，これらを単純に足せば0になる 計算で示せば： π∫−πcosx dx=[sinx =(0)−(0)=0 (4)← 図で示せば 
一般に，y=cosnxとなっている場合には，nxという角度がn倍速く進むので，y=cosxのグラフを横にn分の1に縮めたものになります．
計算で示せば：
π∫−πcosnx dx=[sinnxn=0−0=0 |
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■絶対値付きの定積分■
【例１】
（解答）π∫0|cosx|dxの値を求めてください．
被積分関数に絶対値が付いているときは，区間を場合分けして絶対値記号を外して計算するのが基本です．
0≦x≦π2→cosx≧0π2≦x≦π→cosx≦0だから π∫0|cosx|dx=π−2∫0|cosx|dx+π∫π−2|cosx|dx
図のA=1 , B=−1
=π−2∫0cosxdx+π∫π−2(−cosx)dxBの部分を上にひっくり返してB'=1を使うと，A+B'=2になる． =[sinx+[−sinx =(1−0)+(0−(−1))=2
※高校生のごく初歩的な間違いとして
π∫0cosxdxを計算してから絶対値を付けようとする 答案がよくありますが，上記の(6)で示したように，これでは0になって消えてしまいます． ※一般にb∫a|f(x)|dx 
と|b∫af(x)dx|は違うので注意 |
【例２】
（解答）π−2∫0 |sinx−cosx|dxの値を求めてください． 
sinπ4=cosπ4=√220≦x≦ π4→cosx≧sinxπ4≦x≦π2→cosx≦sinxπ−2∫0 |sinx−cosx|dx =π−4∫0 (cosx−sinx)dx+π−2∫π−4 (sinx−cosx)dx =[sinx−cosx+[−cosx−sinx =( √22+√22)−(1)+{ (−1)−(−√22−√22) }=2 √2−2 |
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【例３】
（解答）π−2∫0 |3sinx−4cosx|dxの値を求めてください．
既知の角度を用いてx>
πn, x<πnのように書くことができないときでも，その角度を記号定数αなどで表して計算し，結果が出てから戻せばよい．1 ◇三角関数の合成とグラフの平行移動が分かる場合 3sinx−4cosx= √32+42(sinx×35−cosx×45)=5(sinx× 35−cosx×45)と変形する．ここで右図１のような角αを考えると sinα= 45 , cosα=35となるから 3sinx−4cosx=5(sinxcosα−cosxsinα) =5sin(x−α) このグラフは，y=5sinxのグラフを右にαだけ平行移動したものだから，右図２（を縦に５倍に引き延ばしたもの）のようになる．
x=α→5sin(x−α)=0
π−2∫0 |3sinx−4cosx|dx0≦x≦α→5sin(x−α)≦0 α≦x≦ π2→5sin(x−α)≧0=π−2∫0 |5sin(x−α)|dx =−5α∫0 sin(x−α)dx+5π−2∫α sin(x−α)dx =5[cos(x−α)−5[cos(x−α) =5{cos0−cos(−α)}−5{cos( π2−α)−cos0}ここで cos0=1,cos(−α)=cosα= 35,cos(π2−α)=sinα=45だから （原式）=5{1− 35}−5{45−1}=5−3−4+5=3右に続く→ |
図１
  ◇三角関数の合成やグラフの平行移動に自信がない場合 
それぞれ右図のようなグラフになるから交点のx座標をαとおくと 3sinα=4cosαから tanα= 43上の図１のような三角形で考えると， sinα= 45 , cosα=35
x=α→3sinx=4cosx
（原式）=α∫0 (−3sinx+4cosx)dx+π−2∫α (3sinx−4cosx)dx0≦x≦α→3sinx≦4cosx α≦x≦ π2→3sinx≧4cosx=[3cosx+4sinx+[−3cosx−4sinx ={(3cosα+4sinα)−(3+0)}+{(0−4)−(−3cosα−4sinα)} =6cosα+8sinα−7=6× 35+8×45−7=3 |
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次の定積分の値を求めてください．
※正しい選択肢の番号をクリックしてください．
なお，暗算ではできませんので，別途計算用紙と筆記用具が必要です． |
x=π6→sinx=120≦x≦ π6→sinx≦12π6≦x≦π2→sinx≧12だからsinxと 12は右図のような上下関係になる．π−2∫0 |sinx− 12|dx=π−6∫0 ( 12−sinx)dx+π−2∫π−6 (sinx−12)dx=[ 12x+cosx+[−cosx−12x
={(
π12+√32)−(0+1)}+{(−0−π4)−(−√32−π12)}= √3−π12−1 → 3 |
y=sinxとy=sin2xの概形は右図のようになるので，交点を求めて上下関係を調べる．sinx=sin2x→sinx=2sinxcosx sinx(2cosx−1)=0 cosx= 12→x=π3（矢印の場所）0≦x≦ π3→sinx≦sin2xπ3≦x≦π2→sinx≧sin2xだから π−2∫0 |sinx−sin2x|dx =π−3∫0 (sin2x−sinx)dx+π−2∫π−3 (sinx−sin2x)dx =[− 12cos2x+cosx+[−cosx+12cos2x
=
12 → 1 |
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y=2sinxとy=√5cosxの概形は右図のようになるので，交点を求めて上下関係を調べる．2sinx= √5cosx→tanx=√52(tanα= √52,cosα=23,sinα=√53)0≦x≦α→2sinx≦ √5cosxα≦x≦ π2→2sinx≧√5cosxだから π−2∫0 |2sinx− √5cosx|dx=α∫0 ( √5cosx−2sinx)dx+π−2∫α (2sinx−√5cosx)dx=[ √5sinx+2cosx+[−2cosx−√5sinx={( √5sinα+2cosα)−(0+2)}+{(−0− √5)−(−2cosα−√5sinα)}=2 √5sinα+4cosα−2−√5
=2
√5×√53+4×23−2−√5=4− √5
→ 4 |
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次のプログラムは，台形公式を使った数値積分によって，コンピュータを使って定積分の値を計算するものです. 結果は小数第4位までの近似値で示されますが，各自の解答と近い値になれば，よい裏付けと見なせます． 
≪付録１≫
π−2∫0 |asinx−bcosx|dx の値を計算します．a, b (≠0)の値を入力して，［計算する］ボタンを押してください． （分数は 1/3, -2/3のように記入．平方根の場合は，例えば， √5なら2.236のように近似値で記入）
≪付録２≫
π∫0 |asinx−bcosx|dx の値を計算します．（使用方法は１と同様） |
≪付録３≫
β∫α |asinmx+bcosnx|dx の値を計算します．（使用方法は１と同様）
≪付録４≫
β∫α |asinmx+bsinnx|dx の値を計算します．（使用方法は１と同様）
≪付録５≫
β∫α |acosmx+bcosnx|dx の値を計算します．（使用方法は１と同様） |
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