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高校数学 >> 高校数学Ⅲ>> 定積分

【例１】
　a>0, b>0, 0≦t≦2πのとき，x=acost , y=bsintで囲まれた図形の面積を求めてください．

.dxdtnn=−asint, .dydtnn=bcostだから

t	0		.π2n		π		.3π2nn		2π
.dxdtnn	0	−	−	−	0	+	+	+	0
.dydtnn	+	+	0	−	−	−	0	+	+
(x,y)	(a,0)		(0,b)		(−a,0)		(0,−b)		(a,0)
向き

（参考１）
　左の方程式は，楕円
.x2a2nn+.y2b2nn=1 の媒介変数表示になっています．

（参考２）
図のような図形の面積は，通常 S=x2∫x1www{f(x)−g(x) }dx によって計算しますが，この問題では無理です．
　というのは，この問題では（上）と（下）は関数形によって区別されるのではなく，（上）（下）の関数形は同じになるため，単純に引き算をすれば消えてなくなってしまいます．
　（上）であるか（下）であるかはtの積分区間によって区別されています．だから，左図のようにx軸とで囲まれる図形の面積を２つに分けて計算します．

a=b(=r)のときは，円になり,S=πr2となります．

【例２】
　a>0のとき，x=a(t−sint) , y=a(1−cost)とx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください．

.dxdtnn=a(1−cost)≧0, .dydtnn=asintだから

t	0		π		2π
.dxdtnn	0	+	+	+	0
.dydtnn	+	+	0	−	−
(x,y)	(0,0)		(πa,2a)		(2πa,0)
向き

（参考３）
　左のグラフはサイクロイドと呼ばれ，円が直線上を滑らずに回転するときに，円周上の１点が描く軌跡となっています．

【問題１】次の途中計算を参考にしてx=sint , y=sin2t(0≦t≦π)で囲まれる図形の面積を求めてください
（途中計算）
.dxdtnn=cost , .dxdtnn=0 ⇔ t=.π2n
.dydtnn=2cos2t , .dydtnn=0 ⇔ t=.π4n,.3π4nn

t	0		.π4n		.π2n		.3π4nn		π
.dxdtnn	+	+	+	+	0	−	−	−	−
.dydtnn	+	+	0	−	−	−	0	+	+
(x , y)	(0,0)		(..√2√ni2nn,1)		(1,0)		(..√2√ni2nn,−1)		(0,0)
向き

y=0 ⇔ t=0,.π2n,π
グラフは次のようになる． S=1∫0wwwy1 dx+1∫0www(−y2 )dx =π−2∫0wwwsin2tcost dt+π−2∫πwww(−sin2tcost)dt =π−2∫0wwwsin2tcost dt+π∫π−2wwwsin2tcost dt =π∫0wwwsin2tcost dt

【問題２】次の途中計算を参考にしてx=sin2t , y=sin3t(0≦t≦.π3n)で囲まれる図形の面積を求めてください
（※暗算ではできません．計算用紙が必要です．） （途中計算）
.dxdtnn=2cos2t , .dxdtnn=0 ⇔ 2t=.π2n ⇔ t=.π4n
.dydtnn=3cos3t , .dydtnn=0 ⇔ 3t=.π2n ⇔ t=.π6n
y=0 ⇔ 3t=0,π ⇔ t=0,.π3n

t	0		.π6n		.π4n		.π3n
.dxdtnn		+	+	+	0	−
.dydtnn		+	0	−	−	−
(x , y)	(0,0)		(..√3√ni2nnn,1)		(1,..√2√ni2nnn)		(..√3√ni2nnn,0)
向き

グラフは次のようになる．

【問題３】x=t2 , y=t3−3tで囲まれる図形の面積を求めてください
（※暗算ではできません．計算用紙が必要です．速い人でも10分はかかるでしょう．）