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高校数学 >> 高校数学Ⅲ>> 定積分

【基本１】
== 下端と上端が定数である定積分は，定数になる ==
${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)dt}$
は，定数

== 難易などの目安 ==
《考え方》
　　★：易しい，★★：普通，★★★：難しい
《計算量》
　　☆：少ない，☆☆：普通，☆☆☆：多い

（★,☆）
【例題1】　次の等式を満たす関数f(x)を求めよ．
${\displaystyle f(x)=1+x{\int }_0^{1}f(t)dt}$

（★,☆）
【問題1-1】　
${\displaystyle f(x)=x-{\int }_0^1{e}^{t}f(t)dt}$を満たす関数はf(x)=　　である．

${\displaystyle f(x)=x-k}$
${\displaystyle f(t)=t-k}$
とおける
${\displaystyle k={\int }_0^1{e}^t(t-k)dt={\int }_0^{1}t{e}^{t}dt-k{\int }_0^1{e}^{t}dt}$
${\displaystyle =I_1-k{I}_2}$
とおく
${\displaystyle I_1}$は，次の部分積分により求められる

${\displaystyle p(t)=t}$	${\displaystyle p^{\prime }(t)=1}$
${\displaystyle q(t)=e^t}$	${\displaystyle q^{\prime }(t)=e^t}$

${\displaystyle I_1={\int }_0^{1}t{e}^{t}dt=[t{e}^t{]}_0^1-{\int }_0^1{e}^{t}dt}$
${\displaystyle =(e-0)-(e-1)=1}$
${\displaystyle I_2}$は，単純に積分すれば求められる
${\displaystyle I_2={\int }_0^1{e}^{t}dt=[e^t{]}_0^1=e-1}$
したがって
${\displaystyle k=1-k(e-1)}$
${\displaystyle ke=1}$
${\displaystyle k=\frac{1}{e}}$
${\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{e}}$･･･（答）
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（★,☆☆）
【問題1-2】　
(1) 定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{x}{{\cos }^{2}x}dx}$を求めよ．
(2) ${\displaystyle -\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}}$で定義された関数f(x)が
${\displaystyle f(x){\cos }^{2}x=\pi -\frac{x}{\log 2}{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}f(t)dt}$
をみたすとき，f(x)を求めよ．

(1)
次の微分公式が成り立つ
${\displaystyle (\tan x{)}^{\prime }=(\frac{\sin x}{\cos x}{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}}$
したがって，次の積分公式が成り立つ
${\displaystyle \int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C_1}$
また，次の積分公式も成り立つ
${\displaystyle \int \tan xdx=-\int \frac{(\cos x{)}^{\prime }}{\cos x}dx=-\log |\cos x|+C_2}$
これらを使って，次の部分積分を行う

${\displaystyle p(x)=x}$	${\displaystyle p^{\prime }(x)=1}$
${\displaystyle q(x)=\tan x}$	${\displaystyle q^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}}$

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}p(x)q^{\prime }(x)dx=[p(x)q(x){]}_0^{\frac{\pi }{3}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}{p}^{\prime }(x)q(x)dx}$
すなわち
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{x}{{\cos }^{2}x}dx=[x\tan x{]}_0^{\frac{\pi }{3}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\tan xdx}$
${\displaystyle =(\frac{\pi }{3}\cdot \sqrt{3}-0)+[\log |\cos x|{]}_0^{\frac{\pi }{3}}}$
${\displaystyle =\frac{\sqrt{3}\pi }{3}+(\log \frac{1}{2}-0)}$
${\displaystyle =\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-\log 2}$･･･（答）
(2)
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}f(t)dt=k}$
（kは定数）とおけるから
${\displaystyle f(x)=\frac{\pi }{{\cos }^{2}x}-\frac{kx}{\log 2\cdot {\cos }^{2}x}}$
と書ける
${\displaystyle k={\int }_0^{\frac{\pi }{3}}(\frac{\pi }{{\cos }^{2}t}-\frac{kt}{\log 2\cdot {\cos }^{2}t})dt}$
${\displaystyle =\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt-\frac{k}{\log 2}{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{t}{{\cos }^{2}t}dt}$
${\displaystyle =\pi \cdot I_1-\frac{k}{\log 2}\cdot I_2}$とおく
${\displaystyle I_1=[\tan t{]}_0^{\frac{\pi }{3}}=\sqrt{3}}$
また，(1)の結果により
${\displaystyle I_2=\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-\log 2}$
これらを代入すると
${\displaystyle k=\sqrt{3}\pi -\frac{k}{\log 2}(\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-\log 2)}$
${\displaystyle =\sqrt{3}\pi -\frac{\sqrt{3}\pi k}{3\log 2}+k}$
${\displaystyle \sqrt{3}\pi =\frac{\sqrt{3}\pi k}{3\log 2}}$
${\displaystyle k=3\log 2}$
${\displaystyle f(x)=\frac{\pi }{{\cos }^{2}x}-\frac{3\log 2\cdot x}{\log 2\cdot {\cos }^{2}x}}$
${\displaystyle f(x)=\frac{\pi -3x}{{\cos }^{2}x}}$･･･（答）
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（★,☆☆）
【例題2】　
${\displaystyle f(x)=\cos x+{\int }_0^{\pi }\sin (x-t)f(t)dt}$を満たす関数f(x)を求めよ．

被積分関数sin(x−t) f(x)のxとtを分離するために，三角関数の加法定理を使うことができる

三角関数の２倍角公式（⇔半角公式）により
${\displaystyle \sin t\cos t=\frac{\sin 2t}{2}}$
${\displaystyle {\cos }^{2}t=\frac{1+\cos 2t}{2}}$
${\displaystyle {\sin }^{2}t=\frac{1-\cos 2t}{2}}$

（★,☆☆）
【問題2-1】　
等式${\displaystyle f(x)=\cos x+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(t)\cos (t-x)dt}$を満たす関数f(x)を求めよ．

${\displaystyle f(x)=\cos x+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(t)(\cos t\cos x+\sin t\sin x)dt}$
${\displaystyle =\cos x+\frac{1}{\pi }\{\cos x{\int }_0^{\pi }f(t)\cos tdt+\sin x{\int }_0^{\pi }f(t)\sin tdt\}}$
ここで
${\displaystyle {\int }_0^{\pi }f(t)\cos tdt=a,{\int }_0^{\pi }f(t)\sin tdt=b}$
とおけるから
${\displaystyle f(x)=\cos x+\frac{a}{\pi }\cos x+\frac{b}{\pi }\sin x}$
${\displaystyle =(1+\frac{a}{\pi })\cos x+\frac{b}{\pi }\sin x}$
の形に書ける．
定数a, bの値を求める．
${\displaystyle a={\int }_0^{\pi }\{(1+\frac{a}{\pi })\cos t+\frac{b}{\pi }\sin t\}\cos tdt}$
${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }(1+\frac{a}{\pi }){\cos }^{2}tdt+\frac{b}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin t\cos tdt}$
${\displaystyle =(1+\frac{a}{\pi }){\int }_0^{\pi }\frac{1+\cos 2t}{2}dt+\frac{b}{\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{\sin 2t}{2}dt}$
${\displaystyle =(1+\frac{a}{\pi })[\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}{]}_0^{\pi }}$
${\displaystyle =(1+\frac{a}{\pi })\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+\frac{a}{2}}$
${\displaystyle \frac{a}{2}=\frac{\pi }{2}}$
${\displaystyle a=\pi }$
${\displaystyle b={\int }_0^{\pi }\{(1+\frac{a}{\pi })\cos t+\frac{b}{\pi }\sin t\}\sin tdt}$
${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }(1+\frac{a}{\pi })\cos t\sin tdt+{\int }_0^{\pi }\frac{b}{\pi }{\sin }^{2}tdt}$
${\displaystyle =(1+\frac{a}{\pi }){\int }_0^{\pi }\frac{\sin 2t}{2}dt+\frac{b}{\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{1-\cos 2t}{2}dt}$
${\displaystyle =(1+\frac{a}{\pi })[-\frac{\cos 2t}{4}{]}_0^{\pi }+\frac{b}{\pi }[\frac{t}{2}-\frac{\sin 2t}{4}{]}_0^{\pi }}$
${\displaystyle =(0-0)+\frac{b}{\pi }(\frac{\pi }{2}-0)=\frac{b}{2}}$
${\displaystyle b=0}$
ゆえに
${\displaystyle f(x)=2\cos x}$･･･（答）
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（★,☆☆）
【問題2-2】　
　aが実数の範囲を動くとき，定積分
${\displaystyle {\int }_0^1(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}-at{)}^{2}dt}$
の最小値を求めよ．また，そのときのaの値を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^1(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}-at{)}^{2}dt}$
${\displaystyle ={\int }_0^1\frac{1}{t^2+1}dt-a{\int }_0^1\frac{2t}{\sqrt{t^2+1}}dt+a^2{\int }_0^1{t}^{2}dt}$
${\displaystyle =I_1-a{I}_2+a^2{I}_3}$
とおく
（定数${\displaystyle I_1,I_2,I_3}$の値が定まれば，aの2次関数として最小値を求めることができる） 　${\displaystyle I_1}$は，${\displaystyle t=\tan \theta }$とおく置換積分により，次のように計算できる
${\displaystyle \frac{dt}{d\theta }=\frac{1}{{\cos }^2\theta }}$
t=x→u

t	0→1
θ	0→π/4

このとき
${\displaystyle I_1={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{{\tan }^2\theta +1}\cdot \frac{d\theta }{{\cos }^2\theta }}$
${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}d\theta =[\theta {]}_0^{\frac{\pi }{4}}=\frac{\pi }{4}}$
　${\displaystyle I_2}$は，${\displaystyle t^2+1=u}$とおく置換積分により，次のように計算できる
${\displaystyle \frac{du}{dt}=2t}$

t	0→1
u	1→2

このとき
${\displaystyle I_2={\int }_1^2\frac{2t}{\sqrt{u}}\cdot \frac{du}{2t}={\int }_1^2{u}^{-\frac{1}{2}}du}$
${\displaystyle =[2u^{\frac{1}{2}}{]}_1^2=2(\sqrt{2}-1)}$
　${\displaystyle I_3}$は，次のように計算できる
${\displaystyle {\int }_0^1{t}^{2}dt=[\frac{t^3}{3}{]}_0^1=\frac{1}{3}}$
　これらをまとめると
（原式）${\displaystyle =\frac{\pi }{4}-2(\sqrt{2}-1)a+\frac{1}{3}{a}^2}$
${\displaystyle =\frac{1}{3}\{a^2-6(\sqrt{2}-1)a\}+\frac{\pi }{4}}$
${\displaystyle =\frac{1}{3}\{a-3(\sqrt{2}-1){\}}^2-3(\sqrt{2}-1{)}^2+\frac{\pi }{4}}$
${\displaystyle =\frac{1}{3}\{a-3(\sqrt{2}-1){\}}^2+\frac{\pi }{4}-9+6\sqrt{2}}$
したがって，${\displaystyle a=3(\sqrt{2}-1)}$のとき，最小値${\displaystyle \frac{\pi }{4}-9+6\sqrt{2}}$をとる →［解答を隠す］←

【基本２】
(1)${\displaystyle \frac{d}{d\boxed{\text{x}}}{\int }_a^{\boxed{\text{x}}}f(t)dt=f(\boxed{\text{x}})}$

(2)${\displaystyle \frac{d}{d\boxed{\text{x}}}{\int }_{\boxed{\text{x}}}^{a}f(t)dt=-f(\boxed{\text{x}})}$

（★,☆）
【例題3】　
　関数${\displaystyle f(x)={\int }_{\frac{\pi }{2}}^x}$${\displaystyle (t-x)\cos tdt}$について，次の問い
に答えよ．
(1) 関数f(x)の導関数f’(x)を求めよ．
(2) ${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leqq x\leqq \pi }$の範囲におけるf(x)の最大値を求めよ．

（★,☆☆）
【問題3-1】　
${\displaystyle F(x)=\frac{1}{2}x+{\int }_0^x(t-x)\sin tdt}$とおく．
(ⅰ) 導関数${\displaystyle F^{\prime }(x)}$および第２次導関数${\displaystyle F^{″}(x)}$を求めよ．
(ⅱ) 0≦x≦πにおけるF(x)の最大値と最小値を求めよ．

(ⅰ)
${\displaystyle F(x)=\frac{1}{2}x+{\int }_0^{x}t\sin tdt-x{\int }_0^x\sin tdt}$
${\displaystyle F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}+x\sin x-1\times {\int }_0^x\sin tdt-x\times \sin x}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}+[\cos t{]}_0^x=\frac{1}{2}+\cos x-1}$
${\displaystyle =\cos x-\frac{1}{2}}$･･･（答 #1）
${\displaystyle F^{″}(x)=-\sin x}$･･･（答）
(ⅱ)
${\displaystyle F(x)=\int (\cos x-\frac{1}{2})dx=\sin x-\frac{1}{2}x+C}$
また，原式から，x=0のとき，F(x)=0
したがって，C=0
${\displaystyle F(x)=\sin x-\frac{1}{2}x}$･･･（#2）
増減表は(#1)(#2)を使って求められる（${\displaystyle F^{″}(x)}$を使わなくてもできる）

x	0	･･･	${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$	･･･	π
${\displaystyle F^{\prime }(x)}$		+	0	−
F(x)	0	${\displaystyle \nearrow }$	M	${\displaystyle \searrow }$	m

${\displaystyle M=F(\frac{\pi }{3})=\sin \frac{\pi }{3}-\frac{1}{2}\times \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6}}$･･･（最大値）
${\displaystyle m=F(\pi )=\sin \pi -\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}}$(<0)･･･（最小値）
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（★,☆☆）
【問題3-2】　
${\displaystyle {\int }_1^x}$${\displaystyle \log tdt=}$(1)であるので，
${\displaystyle f(x)={\int }_1^x}$${\displaystyle (x-1)\log tdt}$のとき，${\displaystyle f^{\prime }(x)=}$(2)である．

${\displaystyle \log t}$の積分は，次の部分積分により求められる
（これは教科書に必ず書かれており，使い道が多いので，結果を覚えるのもよい）

${\displaystyle p(t)=\log t}$	${\displaystyle p^{\prime }(t)=\frac{1}{t}}$
${\displaystyle q(t)=t}$	${\displaystyle q^{\prime }(t)=1}$

${\displaystyle {\int }_1^{x}1\times \log tdt=[t\log t{]}_1^x-{\int }_1^{x}t\times \frac{1}{t}dt}$
${\displaystyle =x\log x-0-{\int }_1^{x}1dt}$
${\displaystyle =x\log x-[t{]}_1^x}$
${\displaystyle =x\log x-x+1}$･･･(1)
${\displaystyle f(x)={\int }_1^x(x-1)\log tdt}$
${\displaystyle =x{\int }_1^x\log tdt-{\int }_1^x\log tdt}$
${\displaystyle f^{\prime }(x)=1\times {\int }_1^x\log tdt+x\log x-\log x}$
ここで(1)の結果を使うと
${\displaystyle f^{\prime }(x)=(x\log x-x+1)+x\log x-\log x}$
${\displaystyle =2x\log x-\log x-x+1}$･･･(2)
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（★,☆☆）
【問題3-3】　
　関数${\displaystyle f(x)={\int }_0^{x}t(t-1)(t-x)dt}$を最大とするようなxの値を求めよ．

${\displaystyle f(x)={\int }_0^x{t}^2(t-1)dt-x{\int }_0^{x}t(t-1)dt}$
この式の両辺をxで微分すると
${\displaystyle f^{\prime }(x)=x^2(x-1)dt-{\int }_0^{x}t(t-1)dt-x^2(x-1)}$
${\displaystyle =-{\int }_0^{x}t(t-1)dt}$
${\displaystyle =-{\int }_0^x(t^2-t)dt}$
${\displaystyle =-[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}{]}_0^x}$
${\displaystyle =-(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2})}$
${\displaystyle =-\frac{x^2}{6}(2x-3)}$

x	･･･	0	･･･	${\displaystyle \frac{3}{2}}$	･･･
${\displaystyle f^{\prime }(x)}$	+	0	+	0	−
f(x)	${\displaystyle \nearrow }$	0	${\displaystyle \nearrow }$	M	${\displaystyle \searrow }$

${\displaystyle x=\frac{3}{2}}$のとき，最大値をとる･･･（答）
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（★,☆☆）
【問題3-4】　
　関数f(x)は微分可能で
${\displaystyle f(x)=x^2{e}^{-x}+{\int }_0^x{e}^{t-x}f(t)dx}$
を満たすものとする．次の問いに答えよ．
(1) ${\displaystyle f(0),f^{\prime }(0)}$を求めよ．
(2) ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$を求めよ．
(3) ${\displaystyle f(x)}$を求めよ．

(1)
積分可能な任意の関数p(x)について
${\displaystyle {\int }_a^{a}p(x)dx=0}$
が成り立つから
${\displaystyle f(0)=0^2{e}^0+0=0}$･･･（答）
さらに
${\displaystyle f(x)=x^2{e}^{-x}+e^{-x}{\int }_0^x{e}^{t}f(t)dx}$･･･(#1)
と書けるから
${\displaystyle f^{\prime }(x)=2x{e}^{-x}-x^2{e}^{-x}}$
${\displaystyle -e^{-x}{\int }_0^x{e}^{t}f(t)dt+e^{-x}{e}^{x}f(x)}$
${\displaystyle =2x{e}^{-x}-x^2{e}^{-x}}$
${\displaystyle -e^{-x}{\int }_0^x{e}^{t}f(t)dt+f(x)}$
(#1)を代入
${\displaystyle f^{\prime }(x)=2x{e}^{-x}-x^2{e}^{-x}}$
${\displaystyle -e^{-x}{\int }_0^x{e}^{t}f(t)dt+x^2{e}^{-x}+e^{-x}{\int }_0^x{e}^{t}f(t)dx}$
${\displaystyle =2x{e}^{-x}}$
${\displaystyle f^{\prime }(0)=0}$･･･（答）
(2)
${\displaystyle f^{\prime }(x)=2x{e}^{-x}}$･･･（答）
(3)
${\displaystyle f(x)=2\int x{e}^{-x}dx}$
次の部分積分を行う

${\displaystyle p(x)=x}$	${\displaystyle p^{\prime }(x)=1}$
${\displaystyle q(x)=-e^{-x}}$	${\displaystyle q^{\prime }(x)=e^{-x}}$

${\displaystyle f(x)=2(-x{e}^{-x}+\int e^{-x}dx)}$
${\displaystyle =2(-x{e}^{-x}-e^{-x})+C}$
(1)の結果からf(0)=0だから
${\displaystyle 2(0-1)+C=0}$
${\displaystyle C=2}$
${\displaystyle f(x)=2(-x{e}^{-x}-e^{-x}+1)}$･･･（答）
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（★,☆☆）
【例題4】
${\displaystyle {\int }_0^{x}tf(x-t)dt=\sin 2x+kx}$･･･①
を満たす関数f(x)と定数kを求めたい．
x−t=uとおいて①の左辺を書き直すと，
${\displaystyle x{\int }_0^x}$ ${\displaystyle du-{\int }_0^x}$ ${\displaystyle du=\sin 2x+kx}$
となる．両辺をxで微分して整理すれば，
${\displaystyle {\int }_0^x}$${\displaystyle du=}$ ･･･②
を得る．ここで，x=0とおくことにより，k=が得られ，さらに，②の両辺をxで微分することにより，f(x)=となる．

（★,☆☆）
【問題4-1】
　すべての実数xに対して
${\displaystyle {\int }_0^{x}tf(x-t)dt={\int }_0^{x}f(t)dt-\sin x+\cos x+2x-1}$
をみたす連続関数f(x)がある．
(1) ${\displaystyle {\int }_0^{x}tf(x-t)dt=x{\int }_0^{x}f(t)dt-{\int }_0^{x}tf(t)dt}$
を示せ．
(2)　f(x)を求めよ．ただし，関係式${\displaystyle \frac{dy}{dx}=y}$をみたす${\displaystyle y}$は${\displaystyle y=C{e}^x}$（Cは任意定数）である．

(1)
x−t=uとおく置換積分により
${\displaystyle \frac{du}{dt}=-1⟹dt=-du}$
t=x−u

t	0→x
u	x→0

このとき
${\displaystyle {\int }_0^{x}tf(x-t)dt={\int }_x^0(x-u)f(u)(-du)}$
${\displaystyle ={\int }_0^x(x-u)f(u)du}$
${\displaystyle =x{\int }_0^{x}f(u)du-{\int }_0^{x}uf(u)du}$
積分変数は，x以外の文字であれば何を使ってもよいから
${\displaystyle =x{\int }_0^{x}f(t)dt-{\int }_0^{x}tf(t)dt}$
(2)
(1)の結果として，次の式が成り立つ
${\displaystyle x{\int }_0^{x}f(t)dt-{\int }_0^{x}tf(t)dt={\int }_0^{x}f(t)dt-\sin x+\cos x+2x-1}$
この式の両辺をxで微分すると
${\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)dt+\cancel{xf(x)}-\cancel{xf(x)}=f(x)-\cos x-\sin x+2}$
${\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)dt=f(x)-\cos x-\sin x+2}$･･･(#1)
さらに両辺をxで微分すると
${\displaystyle f(x)=f^{\prime }(x)+\sin x-\cos x}$
${\displaystyle f(x)-\sin x=f^{\prime }(x)-\cos x}$
ここで，${\displaystyle f(x)-\sin x=g(x)}$とおくと
${\displaystyle g(x)=g^{\prime }(x)}$
問題文のヒントを使うと
${\displaystyle g(x)=C{e}^x}$
${\displaystyle f(x)-\sin x=C{e}^x}$
${\displaystyle f(x)=\sin x+C{e}^x}$･･･(#2)
ここで(#1)において，x=0を代入すると
${\displaystyle 0=f(0)-1-0+2}$
${\displaystyle f(0)=-1}$
また，(#2)において，x=0を代入すると
${\displaystyle f(0)=0+C=C}$
したがって，${\displaystyle C=-1}$
結局
${\displaystyle f(x)=\sin x-e^x}$･･･(答)
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